Пример формирования уравнений при подготовке к решению задачи по расчету переходных процессов методом переменных состояния
Пусть
для цепи (рис. 8.1) известны параметры
Гн, С=
мкФ,
Ом, U=100
B.
Необходимо определить закон изменения
в переходном процессе функции
.
Рис. 8.1. Схема к примеру по расчету переходных процессов
методом переменных состояния
Построим нормальное дерево. Заметим, что при его построении учитываются все узлы графа, в том числе и устранимые. Обозначим ветви дерева сплошными линиями, а хорды – пунктирными.
Отметим на графе основные сечения (разрезы), перечислив их в порядке приоритетов ветвей дерева.
Рис. 8.2. Граф схемы рис. 8.1
Для основных разрезов составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа, а для основных контуров – по второму.
,
(8.2)
,
(8.3)
,
(8.4)
,
(8.5)
.
(8.6)
Из
этих уравнений выбираем два уравнения
(8.2) и (8.5), содержащие ток
и напряжение
,
.
Далее с помощью оставшихся уравнений системы выражаем токи и напряжения правой части этих двух уравнений через переменные состояния. Таким образом, получаем следующую систему уравнений:
,
.
Следовательно
+
.
Здесь векторы и матрицы следующие
,
,
=
,
=
,
=
Если
искомой величиной является функция
,
то
.
В соответствии с математической
формулировкой задачи вектор Y
также должен быть выражен через переменные
состояния. Эти связи находятся из анализа
той же системы уравнений (8.2)… (8.6). Для
данного примера
.
Поэтому матрицы
и
принимают вид
,
.
Решение такой системы можно получить численным методом с помощью, например, пакета MathCad.
Для
этого выполним операции перемножения
и суммирования в правой части уравнения
(8.1) и подставим численные значения
параметров схемы. Получаем в системе
(8.1) справа матрицу–столбец. Присвоим
значения этого столбца матрице, которую
обозначим как
.
,
где
и
– элементы вектора
.
Для решения этой системы дифференциальных уравнений выберем метод Рунге – Кутта с переменным шагом. Для этого в пакете MathCad выбираем окна в следующем порядке: ФУНКЦИИ – дифференциальные уравнения – Rkadapt.
Для
того чтобы воспользоваться этой функцией
MathCad,
необходимо задать вектор независимых
начальных условий, который обозначим
как
,
указать начало
и конец
времени интегрирования, а также количество
точек N,
для которых проводится решение.
.
Вектор – результат решения системы дифференциальных уравнений обозначим S (solving). Тогда ввод команды для решения будет выглядеть следующим образом:
.
Выделим
из матрицы решения S
независимую
переменную
и функции
и
,
учитывая, что аргумент расположен в
первом столбце, а функции
и
в последующих столбцах. Так для
рассматриваемой схемы
(здесь счет элементов матриц начинается с единицы).
Для
того чтобы решить алгебраическую часть
общей системы уравнений, надо искомую
функцию выразить через полученные в
результате интегрирования переменные
состояния. Тогда искомый ток
найдем как
.
На рис. 8.3 представлен примерный вид окна пакета MathCad.
З а д а ч а 8. 1
Электрические
цепи, схемы которых показаны на рис.
7.5, а параметры приведены в табл. 7.4,
включаются под действие напряжения
В. Составьте систему уравнений, необходимых
для расчета
методом переменных состояния.
|
Рис. 8.3. Общий вид окна при решении задачи с использованием
метода переменных состояния в пакете MathCad
З а д а ч а 8. 2
Составьте систему уравнений, необходимых для расчета указанных в табл. 8.3 величин методом переменных состояния.
З а д а ч а 8. 3
Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта (табл. 8.4), параметры которой указаны в табл. 8.5, определите искомые ток и напряжение.
Таблица 8.2
Схемы к задаче 8.2
№ п/п |
Схема |
№ п/п |
Схема |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
Таблица 8.3
Исходные данные к задаче 8.2
Вариант |
Схема из табл.8.2 |
Искомые величины |
Вариант |
Схема из табл.8.2 |
Искомые величины |
Вариант |
Схема из табл.8.2 |
Искомые величины |
1 |
1 |
|
11 |
6 |
|
21 |
3 |
|
2 |
1 |
|
12 |
6 |
|
22 |
3 |
|
3 |
2 |
|
13 |
7 |
|
23 |
4 |
|
4 |
2 |
|
14 |
7 |
|
24 |
4 |
|
5 |
3 |
|
15 |
8 |
|
25 |
5 |
|
6 |
3 |
|
16 |
8 |
|
26 |
5 |
|
7 |
4 |
|
17 |
1 |
|
27 |
5 |
|
8 |
4 |
|
18 |
1 |
|
28 |
6 |
|
9 |
5 |
|
19 |
2 |
|
29 |
6 |
|
10 |
5 |
|
20 |
2 |
|
30 |
6 |
|
Таблица 8.4
Схемы к задаче 8.3
№ п/п |
Схема |
№ п/п |
Схема |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
Таблица 8.5
Исходные данные к задаче 8.3
Вариант |
Схема из табл.8.4 |
|
|
|
|
|
|
Определить |
В |
Ом |
Ом |
Ом |
мГн |
мкФ |
|||
1 |
1 |
200 |
10 |
10 |
10 |
20 |
200 |
|
2 |
2 |
50 |
5 |
5 |
5 |
10 |
1000 |
|
3 |
3 |
100 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5000 |
|
4 |
4 |
50 |
5 |
5 |
5 |
10 |
1000 |
|
5 |
5 |
50 |
10 |
10 |
10 |
10 |
1000 |
|
6 |
6 |
200 |
5 |
5 |
5 |
5 |
1000 |
|
7 |
5 |
300 |
20 |
20 |
20 |
10 |
1000 |
|
8 |
4 |
200 |
10 |
10 |
10 |
5 |
5000 |
|
9 |
3 |
100 |
10 |
10 |
10 |
20 |
2000 |
|
10 |
2 |
100 |
10 |
10 |
10 |
10 |
1000 |
|
11 |
1 |
50 |
5 |
5 |
5 |
20 |
2000 |
|
12 |
6 |
300 |
20 |
20 |
20 |
10 |
1000 |
|
13 |
5 |
100 |
5 |
5 |
5 |
5 |
1000 |
|
14 |
4 |
200 |
20 |
20 |
20 |
10 |
1000 |
|
15 |
3 |
50 |
5 |
5 |
5 |
10 |
1000 |
|
16 |
2 |
300 |
10 |
10 |
10 |
10 |
1000 |
|
17 |
1 |
100 |
5 |
5 |
5 |
20 |
2000 |
|
18 |
2 |
200 |
20 |
20 |
20 |
20 |
2000 |
|
19 |
3 |
50 |
10 |
10 |
10 |
20 |
2000 |
|
20 |
4 |
100 |
10 |
10 |
10 |
5 |
1000 |
|
21 |
5 |
200 |
20 |
20 |
20 |
10 |
1000 |
|
22 |
6 |
50 |
5 |
5 |
5 |
10 |
1000 |
|
23 |
5 |
100 |
10 |
10 |
10 |
5 |
1000 |
|
24 |
4 |
100 |
5 |
5 |
5 |
10 |
1000 |
|
25 |
3 |
300 |
20 |
10 |
10 |
10 |
2000 |
|
26 |
2 |
100 |
20 |
20 |
20 |
10 |
1000 |
|
27 |
1 |
200 |
10 |
10 |
10 |
10 |
1000 |
|
28 |
6 |
100 |
10 |
20 |
20 |
10 |
2000 |
|
29 |
5 |
50 |
10 |
10 |
10 |
10 |
2000 |
|
30 |
4 |
300 |
10 |
10 |
10 |
20 |
2000 |
|
