Тема 4. Ряды

Числовые ряды. Сходимость, расходимость числовых рядов. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Знакочередующие ряды, признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора и Маклорена. Ряды Фуры.

В результате изучения темы студент должен

знать:

• определение числовых и функциональных рядов;

• необходимый признак сходимости рядов;

• признаки сходимости Даламбера, Коши, Лейбница;

• основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена;

• определение ряда Фурье;

уметь:

• определять сходимость числовых рядов по признакам Даламбера, Коши, Лейбница:

• находить радиус и интервал сходимости степенных рядов;

• раскладывать элементарные функции в ряд Маклорена;

• раскладывать функцию в ряд Фурье;

Рекомендуемая литература:

Л3 ч. 2, Л4, Л6

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое числовой ряд, его члены, частичные суммы?

2. Что такое остаточный ряд? Как связана его сходимость со сходимостью исходного ряда?

3. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда? Какие из приведенных ниже утверждений справедливы, а какие нет? Дайте обоснования своим ответам.

а) Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

б) Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.

в) Если ряд расходится, то его общий член не стремится к нулю.

г) Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

4. Что такое функциональный ряд? Его область определения? Область сходимости?

5. Напишите формулы для разложения в степенные ряды функций ln , arctgx, sin, cos и е^х. При каких значениях справедливы эти формулы?

Тема 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Основные понятия и задачи комбинаторики. Определение вероятности. Классификация событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Полная группа событий, формула полной вероятности, формула Байеса. Повторение испытаний, формула Бернулли. Дискретные и непрерывные случайные величины, их способы задания. Числовые характеристики случайных величин.

В результате изучения темы студент должен:

знать:

• классическое определение вероятности;

• теоремы сложения и умножения вероятностей;

• формулу полной вероятности;

• формулу Байеса;

• формулу Бернулли;

• определение и способы задания дискретных и непрерывных случайные величины;

• формулы для нахождения числовых характеристик случайных величин;

уметь:

• вычислять вероятность события;

• находить функцию распределения и плотность вероятности случайных величин;

• вычислять числовые характеристики случайных величин;

Рекомендуемая литература:

Л.1 ч.2; Л.4; Л.5; Л.6.

Вопросы для самоконтроля:

1. Приведите пример опыта с тремя элементарными исходными; со 100 исходами.

2. Бросается игральная кость. Пусть А- «выпало 4 очка», В- «выпало четное число очков», С- «выпало нечетное число очков»,Будут ли несовместны события А и В; В и С?

3. Как найти вероятность суммы двух независимых событий?

4. Привести примеры случайных величин и случайных событий, связанных со следующими опытами:

а) игральная кость бросается 3 раза;

б)4 лампочки, среди которых есть и бракованные, последовательно вкручиваются в патрон до обнаружения бездефектной.

5. Какие из следующих величин имеют биномиальное расположение:

а) число извлеченных последовательно (без возвращения) нестандартных деталей из партии в 100 деталей, среди которых 10 нестандартных;

б) число попаданий в мишень при трех независимых выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же;

в) число очков, выпавших при бросании одной игровой кости;

г) число гербов, выпавших при четырехкратном бросании монеты?