Тема 6. Основные численные методы
Численное интегрирование: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Абсолютная погрешность .Численное дифференцирование: формулы приближенного дифференцирования, основные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной.
В результате изучения темы студент должен
знать:
формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона;
выражения для определения предельных абсолютных погрешностей;
интерполяционные формулы Ньютона;
таблицу конечных разностей;
уметь:
Вычислять интервалы по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона;
По табличным данным находить аналитическое выражение производной;
Рекомендуемая литература:
Л1 ч 2, Л 3, Л 6.
Вопросы для самоконтроля:
Вычислить приближенные значения интервала ln5=
по формуле трапеций и формуле Симпсона
(n=12).Вычислить значение
из
соотношения
применяя формулу Симпсона (n=10)
Методические указания по выполнению контрольной работы
Комплексные числа
Определение: Числа вида a + bi , где a и b - действительные числа, а i- мнимая единица ( i2 = 1) называются комплексными числами.
Например: 2 + 3i ; 4 - 5i ; 7i ; 10.
Для комплексных чисел принимаются следующие основные соглашения:
При b = 0 получаем действительное число, поэтому a называется действительной частью комплексного числа.
При a = 0 получаем мнимое число bi, поэтому b называют мнимой частью комплексного числа.
Комплексное число a + bi равно нулю, тогда и только тогда, когда a =0 и b = 0.
Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны, тогда и только тогда, когда a1 = a2 , b1 = b2.
Для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определены.
Комплексные числа вида (a + bi) и (a – bi) называются сопряженными ( a + bi = a - bi ).
Комплексные числа вида (a + bi) и (- a – bi) называются противоположными ( a + bi = -(- a - bi )).
Запись комплексного числа в виде z = a + bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме:
( a1 + b1i )
(
a2
+ b2i
) = ( a1
a2
) + ( b1
b2
) i ;( a1 + b1i )( a2 + b2i ) = ( a1a2 - b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i ;
Геометрическая интерпретация
Условились комплексное число z = a + bi изображать точкой плоскости с координатами (a; b). Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа - точками оси ординат, которую называют мнимой осью.
Каждой точке
плоскости с координатами ( a
; b
) соответствует вектор с началом в точке
О ( 0 ; 0 ) и концом в точке М ( a
; b
). Поэтому комплексное число a
+ bi
можно изображать в виде вектора
.
Такое изображение комплексных чисел особенно широко применяется в технических дисциплинах.
Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекает:
1. Длина вектора,
изображающего комплексное число, равна
модулю комплексного числа:
2. Угол
между вектором, изображающим комплексное
число, и положительным направлением
оси Ох называется аргументом комплексного
числа
:
Если Z = 0, то аргумент не определен.
3.Из соотношений между сторонами углами прямоугольного треугольника
,
Тогда, используя
параметры
и
можно записать:
-
тригонометрическая формула записи
комплексного числа.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
,где
k
= 0, 1, 2, ..., n-1.
Те же параметры и при использовании формулы Эйлера :
дают более
компактную запись:
- показательная форма записи комплексного
числа.
Действия над комплексными числами в показательной форме:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
,
где k
= 0, 1, 2, ..., n
- 1.
На практике тригонометрическая форма используется как переходная:
Часто бывает так, что два комплексных числа, над которыми надо произвести то или иное действие, заданы в различных формах. Поэтому сначала их надо привести к одной и той же форме.
Для перевода комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую или показательную необходимо:
Найти модуль комплексного числа
;Найти аргумент комплексного числа ;
определив в какой четверти расположен изображающий комплексное число вектор, выбрать нужное значение аргумента.
Для перевода комплексного числа из показательной или тригонометрической формы в алгебраическую. Следует воспользоваться формулами приведения и значениями углов тригонометрических функций.
Пример 1.
Перемножить два комплексных числа
и
в алгебраической и показательной форме.
Решение: Для выполнения действия в алгебраической форме переведем Z1 сначала в тригонометрическую, а затем в алгебраическую форму:
Z1
=
=4(cos3000
+ i sin3000)
=4( cos(2700
+ 300)
+
+ i
sin(2700
+ 300))=
4(sin300
-
i cos300)
=
Перемножим сомножители по правилу умножения двучлена на двучлен:
Z1
Z2
=
Теперь выполним действия в показательной форме, для чего Z2 переведем из алгебраической формы в показательную:
Так как вектор
изображающий комплексное число
,
расположен в первой четверти, то выбираем
К = 0, тогда
Получаем
Найдем произведение:
Ответ:
Пример 2.
Вычислить
.
Ответ записать в алгебраической,
тригонометрической, показательной
формах.
Решение: Основания степеней даны в алгебраической форме. Так как возведение в степень проще производить в показательной форме, то сначала выполним перевод комплексных чисел в показательную форму.
=
tg
,
k
,k
Так как вектор,
изображающий комплексное число
расположен в четвертой четверти, то
выбираем К = 0, тогда
Получаем
=
=
,k
z
,k
Так как вектор,
изображающий комплексное число
, расположен в третьей четверти, то
выбираем К = 1, тогда
Получаем
Выполнили возведение в степень
Выполнили деление
Ответ:
-алгебраическая
форма
-
тригонометрическая форма
-
показательная форма.
Пример 3.
Вычислить
,
ответ записать в алгебраической,
тригонометрической и показательной
формах.
Решение:
Надо произвести действия над комплексными
числами, заданными в различных формах.
Поэтому сначала их надо привести к одной
форме. Так как возведение в степень
проще производить в показательной
форме, то сначала комплексное число
переведем в показательную форму.
Z=
tg
,k
,k
Так как вектор, изображающий комплексное число , расположен во второй четверти, то выбираем К = 1, тогда
Выполним возведение в степень
Найдем произведение
Ответ:
144-алгебраическая форма
-
тригонометрическая форма
144е
-показательная форма