Предел функций
Определение 1.
б=б(Е)
Д
0 х-а бf(x)-B
Определение 2.
М
Д
х Мf(x)-B
Условие существования предела:
Теоремы о пределах
Пусть существуют lim f(x) и lim g(x), тогда:
Теорема 1
Теорема 2
Следствие:
,
где с=const
Теорема 3
,
где
Теорема 4. Если
и в некоторой окрестности точки а, кроме
быть может самой точки а, выполнено
неравенство
, то
Пример 1.
Вычислить
Решение: воспользуемся теоремами о пределах
Ответ: 11
Пример 2.
Вычислить
Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при х =>2 равны нулю:
Следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.
Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где х1 и х2 - корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (х - 2), затем применем теорему 3.
Ответ:
Пример 3.
Вычислить
Решение: При
числитель и знаменатель стремятся к
бесконечности, поэтому при непосредственном
применении теоремы 3 получаем выражение
,
которое представляет собой неопределенность.
Для избавления от неопределенности
такого вида следует разделить числитель
и знаменатель на старшую степень
аргумента. В данном примере нужно
разделить на х:
Ответ:
Пример 4.
Вычислить
Решение: при . числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т. е. на х3:
Ответ: 2
Пример 5.
Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на высшую степень аргумента, т.е. на х5:
числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.
Ответ:
Пример 6.
Вычислить
Решение: при х
числитель и знаменатель стремятся к
бесконечности. Разделим числитель и
знаменатель на старшую степень аргумента,
т.е. на х7:
Ответ: 0.
Производная функции
Определение
Производные основных элементарных функций:
-
1. (const)’=0
(x n)’= nx n - 1
(a x)=ax lna
(e x)=ex
5.(log a x)’=
6.(ln x)’=
7(sin x)’= cos x
8(cos x)’= -sin x
9(tg x)’=
10(ctg x)’=
11.(arcsinx)’=
12.(arccosx)=
13.(arctg x)’=
14.(arcctgx)’=
Правила нахождения дифференцирования:
а)
б)
в)
,где
С=const
г)
д)
,где
U=U(V(x))
сложная функция
Пример 1.Найти
производную функции
Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:
, где
,
,V=x2
+4
При решении были использованы формулы: 1, 2,6, а, г, д.
Ответ:
Пример 2.
Найти
производную функции
Решение: оба слагаемых - сложные функции, где для первого
, а для второго
Тогда
При решении были использованы формулы 2,6,8,9,а,в,д и формулы Тригонометрии
Ответ:
Определенный интеграл.
Формулы интегрирования:
-
1)
2)
,где
n13)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
Формула Ньютона-Лейбница:
Основные свойства определенного интеграла:
1.
2.
, с=const
3.
Интегрирование методом замены переменной:
Интеграл с помощью
подстановки
преобразуется в другой (обычно табличный)
интеграл с новой переменной интегрирования
t,
где старые пределы интегрирования х1
= а; х2 =
b
заменяются новыми пределами
Пример 1.
Вычислить
Решение: положим t = cos x, тогда dt = (cos x)’dx = -sin xdx или sin xdx = -dt;
вычислим пределы
интегрирования для переменной t:
t1
= cos
0 = 1, t2
=
Ответ:
Пример 2.
Вычислить
Решение: произведем
подстановку
, тогда
или
Определим новые пределы интегрирования:
Ответ:
Дифференциальные уравнения.
Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.
Решением дифференциального уравнения называется функция
y =f(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. График решения на плоскости хОу называется интегральной кривой уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка часто записывают в виде: y’ = f(x;y) или dy = f(x;y)dx. Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение y’ = f(x), где f(x)- заданная функция.
Это уравнение имеет бесконечно много решений.
Процесс нахождения
решения называется интегрированием
дифференциального уравнения. Поэтому
для y’
= f(x),
функция
или
где F(x)
какая-нибудь первообразная функция
f(x),
а с - произвольная постоянная, будет
общим решением (общим интегралом).
Чтобы выделить единственное решение уравнения, достаточно задать значение искомой функции при фиксированном значении аргумента. Задача нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего условию y(x0) = y0, где x0 и у0 - заданные числа, называется задачей Коши.
Условие у(х0) = у0 называется начальным условием, а единственное решение, удовлетворяющее начальному условию, называется частным решением уравнения (частным интегралом).
Частное решение уравнения с физической точки зрения означает, что в фиксированный (начальный) момент времени задано положение материальной точки, а геометрический смысл состоит в нахождении интегральной кривой уравнения, проходящей через заданную точку.
Дифференциальное
уравнение первого порядка называется
уравнением с разделяющимися переменными,
если его можно привести к виду y’=f(x)g(y).
Уравнение этого вида решается с помощью
разделения переменных
и интегрирования обеих частей полученного
уравнения по своей переменной.
Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения
,если
Решение: имеем уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные, разделив каждый член уравнения на произведение (x2+3)sin y:
проинтегрируем обе части уравнения
интегралы вычислим методом подстановки
для удобства преобразований примем c1=ln c,
тогда имеем
после потенцирования получаем общее решение:
Подставив начальное условие, находим С
Подставляя найденное значение С в общее решение получаем частное решение.
Ответ: частное решение уравнения (частный интеграл)
или
Пример 2.
Найти
частное решение дифференциального
уравнения y2dx=
, если у(0)=1.
Решение: соберем члены содержащие dx и dy в разных частях уравнения, а затем разделим переменные:
интегрированием найдем общее решение:
подставив начальное условие, находим С
При найденном значении С из общего интеграла найдем частное решение (частный интеграл) данного уравнения:
Ответ: частное
решение
Ряды
Определение 1.Числовым рядом называется выражение вида
, где числа
называемые членами ряда, образуют
бесконечную последовательность.
Определение
2. Ряд
называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм
. . . . . . . . . . . . . .
при
имеет конечный предел :
Этот предел
называется суммой ряда. Если же
не существует или бесконечен, то ряд
называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд сходится,
то его общий член стремится к нулю, т.е
Признак Коши.
Если для
ряда с положительными членами
величина
при
имеет конечный предел l , т.е
,то : 1)в случае l<1 ряд сходится; 2)в случае
l>1 ряд расходится;
Примечание. Если l=1, то ряд может как сходится, так и расходится.
Признак
Даламбера.
Если для ряда с положительными членами
отношение (n+1)-го
члена к n-му при
имеет конечный предел l, т.е
,
то : 1) в случае l<1 ряд сходится; 2)в случае
l>1 ряд расходится.
Примечание. Если l= 1, то ряд может как сходится, так и расходится.
Пример1исследовать на сходимость ряд
Решение: ряд
расходится, т.к
(не выполнен необходимый признак
сходимости).
Пример 2.
Исследовать
на сходимость ряд
Решение: Воспользуемся признаком Каши.
Находим
;
следовательно, ряд сходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
Решение : Так как
, то данный ряд расходится по признаку
Даламбера.