§2. Перевод чисел в позиционных системах счисления

1. Перевод чисел в десятичную систему счисления.

Преобразование чисел, представленных в двоичной, вось­меричной и шестнадцатеричной системах счисления, в деся­тичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо за­писать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод числа из двоичной системы в десятичную. Возь­мем любое двоичное число, например 10,11₂. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

Перевод чисел из восьмеричной системы в десятичную.

Возьмем любое восьмеричное число, например 67,5₈. Запи­шем его в развернутой форме и произведем вычисления:

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в деся­тичную. Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 19F₁₆. Запишем его в развернутой форме (при этом необходи­мо помнить, что шестнадцатеричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведем вычисления:

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием р в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и. все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и по­лучаемых целых, частных, на; основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки являющиеся цифрами числа в но­вой системе счисления привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Пример . Перевести десятичное число 173 в восьмеричную систему счисления:'

2. Перевод дробных чисел из одной систем счисления в другую.

Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дро­би с основанием р в дробь с основанием q

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие дейст­вия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех нор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в со­ответствие с алфавитом новой системы счисления

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисле­ния, начиная с целой части первого произведения.

Пример 2.18. Перевести десятичную дробь 0,5625₁₀ в двоич­ную систему счисления.

3. Перевод произвольных чисел

Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих це­лую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно пе­реводится целая часть, отдельно— дробная . В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

4. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2ⁿ и обратно.

Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счис­ления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ичной системы Счисления в двоичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q= 2", нужно:

1. Двоичное число разбить справа налево на «группы по n цифр в каждой.

2. Если в последней левой группе окажется меньше п разря­дов, то ее надо дополнить нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе cчисления с основанием q=2ⁿ

Перевод дробных чисел.

Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, нуж­но:

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по п цифр в каждой.

2. Если в последней правой группе окажется меньше п раз­рядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как Tt-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

3. Перевод произвольных чисел.

Для того -чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, нужно: . ,

1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа на­лево, а дробную — слева направо на группы по п цифр в каждой

2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше п разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов.

3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

4. Перевод чисел из систем счисления с основанием q = 2ⁿ в двоичную систему.

Для того, чтоб произвольное число, запи­санное в системе счисления с основанием q=2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого чис­ла заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.