2.3.2. Методи розрахунку оптичних властивостей чутливого елемента лπпр-біосенсора

2.3.2.1. Апарат теорії розсіяння Мі

Для моделювання оптичних властивостей поглинання, розсіяння за екстинкції окремих наночастинок золота була використана теорія Мі розсіяння світла на сферичній немагнітній частинці із оболонкою [160]. У рамках цього підходу перерви екстинкції, розсіяння і а поглинання світла (відношення енергії та одиницю часу, що сумарно втрачаються, розсіюється та поглинаються, відповідно, до інтенсивності падаючого світла) виражаються у наступній формі:

де к - хвильовий вектор світла у навколишньому середовищі, L

КІЛЬКІСТЬ

врахованих мультипольних мод, /н,-=(и, +/А, )/я₀ та m,=njn₀ комплексні показники заломлення ядра та оболонки відносно навколишнього середовища, д - Іі а, у = И\Ь, a = R та /; = R + 2г - радіуси ядра та оболонки, ц/Дг), ξ_;(ζ) та ХДг) - функції Ріккаті-Бесселя. Значення параметру L було розраховане згідно співвідношення, вказаного у роботі [179]:

де квадратні дужки [ ] означають округлення до найближчого цілого числа. Для точного визначення положень максимумів змодельованих спектрів перерізів по довжині хвилі було використане параболічне наближення у околі положення абсолютного максимуму спектру.

2.3.2.2. Апарат методу скінченно-різницевої часової області.

Моделювання оптичних властивостей несферичних наночастинок золота, а також агрегаті та масивів наноструктур золото потребує використання значно складніших аналітичних підходів, ніж теорія розсіяння Мі, які розроблені лише для обмеженої кількості випадків, або чисельних методів. Тому для таких структур був використаний тривимірний метод скінченно=різницевої часової області, який є чисельним об'ємно-базованим методом розрахунку взаємодії електромагнітних хвиль із середовищем, яке може мати довільну геометрію та кількість оптично різнорідних компонент.

Рис. 2.10. Комірка Йє та розподіл компонентів векторів електричного та магнітного поля у ній [180].

У роботі був використаний комерційно доступний пакет Lumerical FDTD Solutions (Lumerical Solutions, Inc., Канада), за допомогою якого розраховувалися спектри перерізів екстинкції, розсіяння та поглинання світла, а також розподіли інтенсивності електричного поля для агрегатів та масивів наноструктур золота. Метод FDTD полягає у розбитті моделі просторовою сіткою на основі елементарних комірок Иє, що пов'язані з електричними та магнітними полями (рис. 2.10). У вузлах цієї сітки проводиться дискретне у часі розв’язання рівнянь Максвелла за допомогою різницевого наближення з використанням часової приграничної схеми згідно наступних співвідношень (для немагнітних середовищ) [160, 181, 182]:

Де та нові значення напруженостей магнітного та електричного полів, та - старі значення напруженостей магнітного та електричного полів, індекси i,j,k визначають просторові координати ( ), індекс n визначає момент часу, що розглядається ( ), - сітковий (просторовий) крок (вважається, що просторова гратка однорідна ( )), - часовий крок, - діелектрична проникність

матеріалу у заданій нижніми індексами комірці. Рекурсивний розв’язок

співвідношень (2.33) на кожному часовому кроці дозволяє отримати поширення поля у всьому об’ємі моделі.

Для моделювання використовувалися граничні умови ідеально узгоджених шарів (perfectly matched layers (PML)), які реалізуються шляхом оточення області розрахунків шарами поглинаючого матеріалу, який ослаблює хвилі, що залишають систему. Параметри та кількість поглинаючих шарів програма задає таким чином, щоб хвилі, які падають на ці шари, мали як найменший коефіцієнт відбивання при будь-яких кутах падіння та швидко затухали при поширенні у цих шарах. Гак як розглянуті системи мали як мінімум одну площину симетрії, то для скорочення комп'ютерного часу та використовуваної пам'яті, необхідних для розрахунків, у 2 (при наявності однієї площини симетрії) або 4 рази (при наявності двох площин симетрії), використовувалися відповідні площинам симетрії системи симетричні та анти-симетричні граничні умови.

З метою розрахунку перерізів екстинкції, розсіяння та поглинання світла досліджуваними системами наночасгинок використовувалося джерело повного

поля/розсіяного поля (total-field scattered-field (TFSF) source), що дозволило визначити повні потоки поглинутої та розсіяної енергії, необхідні для розрахунку відповідних перерізів. Використовуване джерело світла було лінійно-поляризованим, тому для отримання відгуку системи на освітлення неполяризованим світлом проводилися два етапи моделювання із ортогональним положенням поляризації джерела світла, і визначалося середнє арифметичне отриманих в результаті моделювання значень перерізів.

Визначальними параметрами при моделюванні за методом FDTD, які впливають на коректність отриманих результатів, с кроки просторової гратки та часової області . В усіх випадках використовувалася неоднорідна просторова ґратка із однорідною областю, розташованою у межах металевої компоненти системи (просторовим регіоном, в якому крок просторові’ гратки був значно меншим, ніж у діелектричному навколишньому середовищі) для кращого виявлення розповсюдження поля на межі поділу метал-діелектрик. Проводилася перевірка отриманих результатів на збіжність при зменшенні розміру кроку гратки в однорідній області, в результаті якої отримувалося значення кроку , яке відповідає верхній межі діапазону значень кроку, при використанні значень з якого розраховані спектри перерізів екстинкції співпадають. Це значення і використовувалося при моделюванні; воно дорівнювало від 0,2 до 2 нм в залежності від будови системи та розміру наночастинок, які її складають. Для задання кроку часової області А/, який забезпечує збіжність та стабільність розрахунків, у програмному забезпеченні Lumerical FDTD Solutions реалізована умова Курнта-Фрідріхса-Леві [ 183]

де v = с/ ε - швидкість світла в середовищі.

Для точного визначення довжин хвиль положень максимумів змодельованих спектрів перерізів було використане параболічне наближення у околі положення абсолютного максимуму спектру.