2. Приклади застосування теорії корисності в прийнятті управлінських рішень

Розглянемо приклади функцій корисності:

Приклад .1

1. Зростаюча функція корисності для суб’єкта управління, байдужого до

ризику: U(Х) = а + bХ.

2. Зростаюча функція корисності для суб’єкта управління, несхильного до

ризику: U(Х) = log (X + b), де Х > – b.

3. Зростаюча функція корисності для суб’єкта управління, схильного до

ризику: U(Х) = Х2, де Х > = 0.

У теорії ринку цінних паперів широко використовується квадратична функція

корисності вигляду:

U(X) = Х – А · (Х – M(X))2,

де А – задане число.

Зміст цієї функції такий: інвестор вважає корисним для себе збільшити значення ефективності, але бажає уникнути відхилення цієї ефективності від сподіваного значення. Чим більше А, тим більше тенденція запобігання ризику, тобто А – міра несхильності до ризику, а 1/А – міра схильності до ризику.

За допомогою функції корисності можна розраховувати ймовірність бан-

крутства:

U(X) = 1, якщо Х + К > 0,

або 0, якщо Х + К < 0,

де K – початковий капітал.

Методика побудови функції корисності для будь-якого економічного показника складається з таких кроків:

Крок 1. Виявити найкращі та найгірші з можливих допустимих показників

і присвоїти їм значення корисності відповідно 100 і 0 (якщо корисність оцінюється за 100-бальною шкалою).

Крок 2. Розглянути декілька проміжних показників і вказати їхнє значення

корисності (кожним експертом окремо).

Крок 3. Розрахувати середні оцінки корисності проміжних значень, вказаних

експертами.

Крок 4. Якщо спостерігається розсіювання значень якогось із показників,

то потрібно повернутися до кроку 2 аби узгодити думки експертів для досягнення прийнятного діапазону розсіювання оцінок (кроки 2-4 можуть повторюватись

декілька разів).

Крок 5. Визначення функції корисності через побудову функції регресії

методом найменших квадратів (простіша функція корисності – рівняння прямої).

Вид і аналітична форма функції корисності свідчить про відношення суб’єкта, що приймає рішення, до ризику.

Приклад 2. Визначення корисності за допомогою математичних функцій.

У м о в и з а в д а н н я

Фірма має прийняти рішення на основі трьох показників ефективності, за-

стосовуючи різне відношення до ризику: несхильність, схильність, нейтральність.

Показники ефективності задані лотереями: L1 = (20; 0,4; 10), L2 = (5; 0,5; 6), L3 = (10; 0,7; 30).

Несхильність до ризику задана функцією корисності: U(X) = 1 – 2e - 0,1X.

Схильність задана функцією корисності: U(X) = 0,4 Х.

Нейтральність задана функцією корисності: U(X) = 4 + 1,2 Х.

Н е о б х і д н о: розрахувати премію за ризик (надбавку) та визначити, яким

відношенням до ризику має скористатися фірма.

Р о з в’ я з а н н я

1. Визначимо сподіваний виграш

M(X) = Σ Pn* Xn = 20 · 0,4 + 10 · 0,6 = 14.

Сподіваний виграш показує, яку середню ефективність може мати фірма

від рішення не брати участі в лотереї.

2. Визначимо очікувану корисність показника ефективності за різних від-

ношень до ризику (е = 2,71).

М1 = (1 – 2е - 0,1 · 20) · 0,4 + (1 – 2е - 0,1 · 10) · 0,6 = 0,4 – 0,8 / 2,712 –

– 1,2 / 2,71 = 1 – 0,109 – 0,443 = 0,448;

М2 = (0,4 · 202) · 0,4 + (0,4 · 102) · 0,6 = 64 + 24 = 88;

М3 = (0,4 + 1,2 · 20) · 0,4 + (4 + 1,2 · 10) · 0,6 = 11,2 + 9,6 = 20,8.

3. Визначимо детермінований еквівалент – гарантовану суму Х, отримання

якої еквівалентно участі в лотереї. Це середнє значення показника ефективності

за відповідного відношення до ризику:

а) несхильність до ризику: 1 – 2е - 0,1Х = М1. З цього е - 0,1Х = 0,276 ⇒ – 0,1Х =

= ln 0,276 ⇒ – 0,1Х = – 1,375 ⇒Х = 13,75;

б) схильність до ризику: 0,4Х 2 = 88, звідси Х = 14,83;

в) нейтральність: 4 + 1,2Х = 20,8, звідси Х = 14. Завжди має дорівнювати X .

Δ = X – Х,

Δ1 = 14 – 13,75 = 0,25; Δ2 = 14 – 14,85 = – 0,85; Δ3 = 14 – 14 = 0.

Премія за ризик у випадках несхильності до ризику показує, які кошти може втратити інвестор, не ризикуючи: (0,25/14) · 100% = 1,78%.

Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, яку величину коштів інвестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи:

(0,85/14) · 100% = 6,07%.

Премія за ризик у випадку нейтральності завжди 0.

В и с н о в о к: У даній ситуації краще ризикувати.