Дополнительная литература
Высшая математика для экономистов: Учебник / Кремер Н.Ш. - М.: Юнити, 2006, 2008, 2009.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова-М.:ИНФРА-М,2004.
Общий курс высшей математики (для экономистов): Учебник / Под ред. Ермакова В.И. – М.: Инфра-М, 2003.
Кузнецов Б. Т. Математика. М., ЮНИТИ, 2004
Формы текущего контроля знаний: решение задач.
Формы контроля самостоятельной работы студентов: ответы на вопросы, проверка решения задач, заданных на дом.
Практические занятия по теме «Матрицы и определители»
Цель: Углубленное усвоение лекционного занятия и проверка знаний студентов по теме, научится решать задачи по теме.
Планы занятий:
Решение задач и одновременное повторение основных терминологий и алгоритмов. Примеры решения задач:
1) Записать миноры 3 и 2 порядков для матрицы
2)
Найти минора к элементу a
31 для
матрицы
3) Найдем алгебраическое дополнение к элементу a 33 .
4) Вычислить определитель матрицы
разложение определителя по первому столбцу
Перед разложением определителя для удобства получают в одном из столбцов нули. Это сокращает объемы вычислений. Для этого одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками. Тогда
5) Вычислить определители матрицы A :
Решение:
а) По формуле
б) | A | = 1 1 1 + 0 2 2 + 0 5 3 – 0 1 0 – 1 2 3 – 1 2 5 = –15.
6) Вычислить тот же определитель, приведенный в задаче 5 , б , используя его разложение по элементам: а ) первой строки; б ) второго столбца.
Решение:
а) Находим алгебраические дополнения элементов первой строки по формуле:
Теперь по теореме Лапласа:
| A | = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = 1 (– 5) + 2 (– 5) + 0 15 = –15.
б) Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца:
Теперь по формуле определителя второго порядка :
| A | = a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 32 A 32 = 2 (– 5) + 1 1 – 3 2 = –15.
7) Вычислить определитель матрицы четвертого порядка:
Решение: С помощью эквивалентных преобразований приведем матрицу A к треугольному виду. Если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся того, чтобы элемент a 11 = 1. В данном случае достаточно поменять местами 1-й и 3-й столбцы; при этом меняется знак определителя матрицы A :
Умножая элементы 1-й строки на числа (–aij ); i = 1, 2, 3, 4, т.е. в данном случае на числа 1, (–2), (–1), и прибавляя их соответственно к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк, добиваемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме a 11 ) равнялись нулю:
Далее, если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся, чтобы новый элемент a 22 = 1. В данном случае это возможно, если переставить 2-ю и 3-ю строки; при этом меняется знак определителя. Умножая элементы 2-й строки, полученной матрицы на числа (–a 12 ) (i = 3, 4), в данном случае на числа (–2) и 1, добиваемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме a 22 ) равнялись нулю.
Для получения треугольной матрицы в данном случае достаточно прибавить элементы 3-й строки полученной матрицы к элементам 4-й. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
8) Найти ранг матрицы:
Решение. Матрица А имеет размер 4 3, значит, r (А ) ≤ 3. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы, приведем матрицу А к ступенчатому виду.
1) Транспонируем матрицу А :
2) Умножим элементы 1-й строки на (–1), сложим ее со 2-й и 3-й строками матрицы. В новой матрице поменяем местами 2-ю и 3-ю строки:
3) Умножим элементы 2-й строки на 3 и сложим с элементами 3-й строки:
Получили ступенчатую матрицу размера 3 4, у которой 3 ненулевых элемента на главной диагонали, значит, r (А ) = 3. Эта матрица имеет ненулевой минор 3-го порядка, например,
9)
Даны матрицы
вычислить
10)
Найти произведение матриц
Умножить В на А нельзя, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.
11) Найти произведение
матриц В и С:
В
С
С
В
. Произведение
матриц не коммутативно!
12) Умножить матрицы
В Е Е В В .
13) Найти обратную
матрицу для
Составим расширенную матрицу:
14)
Для матрицы
найти
обратную матрицу A
–1
.
Решение:
.
Итак,
.