Основная литература

1. Шипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для вузов.- 8-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 2007.- 479с., илл. ББК 22.1 МО

2. Башмаков, М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 208с. ББК 22.1 ФИРО

3. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 416с. ББК 22.1 ФИРО

4. Федорова Н.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7227-3

5. Лукша В.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7228-0

6. Щербакова Ю.В. Аналитическая геометрия. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

7. Березина Н.А. Линейная алгебра. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

Дополнительная литература

8. Высшая математика для экономистов: Учебник / Кремер Н.Ш. - М.: Юнити, 2006, 2008, 2009.

9. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова-М.:ИНФРА-М,2004.

10. Общий курс высшей математики (для экономистов): Учебник / Под ред. Ермакова В.И. – М.: Инфра-М, 2003.

11. Кузнецов Б. Т. Математика. М., ЮНИТИ, 2004

Формы текущего контроля знаний: решение задач.

Формы контроля самостоятельной работы студентов: ответы на вопросы, проверка решения задач, заданных на дом.

Практические занятия по теме «Кривые второго порядка»

Цель: Углубленное усвоение лекционного занятия и проверка знаний студентов по теме, научится решать задачи по теме.

Планы занятий:

Решение задач и одновременное повторение основных терминологий и алгоритмов. Примеры решения задач:

1). Составить уравнение окружности, проходящей через точки

A (1; 5), B (–4; 0) и D (4; –4).

Решение

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке C ( x ₀ , y ₀ ) имеет вид:

( x – x ₀ )² + ( y – y ₀ )² = R ² . Так как точки A , B , D лежат на окружности, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению:

Вычитая из первого уравнения системы второе, а затем третье, получим

x ₀ = 1, y ₀ = 0 , а далее и R = 5, т.е. уравнение окружности:

( x – 1)² + y ² = 25. Построим его:

2) Найти значение параметра a , при котором окружность x ² + y ² – 4x + a = 0 касается прямой Найти радиус окружности, ее центр и точку касания.

Решение

По условию окружность и прямая имеют одну общую точку, следовательно, система

или уравнение

должны иметь единственное решение.

Это произойдет, если дискриминант полученного квадратного уравнения 4 x ² – 4x + a = 0 будет равен нулю, т.е. D = (–4)² – 4 × 4 a = 16(1 – a ) = 0, откуда a = 1.

Решая квадратное уравнение при a = 1, находим x = 0,5, т.е. точка касания

Для определения радиуса окружности приведем ее уравнение к нормальному виду, группируя члены, содержащие x , и дополняя их до полного квадрата:

( x ² – 4x ) + y ² + 1 = 0, ( x ² – 4x + 4) – 4 + y ² + 1 = 0,

откуда ( x – 2)² + y ² = 3, т.е. центр окружности (2; 0) и радиус , построим окружность

3) Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 9x ² + 4 y ² = 36.

Решение

Разделив на 36, приведем уравнение к виду

Отсюда следует, что большая полуось эллипса a = 3, а малая полуось

b = 2. При этом большая ось эллипса и ее фокусы расположены на оси Oy , построим график

По формуле расстояние от фокуса эллипса до начала координат т.е. координаты фокусов

Эксцентриситет эллипса по формуле .

4) Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы

9x ² – 16 y ² + 144 = 0.

Решение

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив обе части уравнения на (–144):

Следовательно, гипербола имеет фокусы на оси Oy , ее действительная полуось a = 3, а мнимая полуось b = 4, построим график

Асимптоты гиперболы по формуле : или Вершины данной гиперболы A ₁ (0; –3), A ₂ (0; 3). Далее, по формуле : поэтому фокусы расположены в точках F ₁ (0; –5), F ₁ (0; 5). Эксцентриситет гиперболы по формуле ε = 5/3. ►

5) Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями и гипербола проходит через точку Найти расстояние между фокусами и вершинами гиперболы.

Решение

Так как точка лежит на гиперболе (причем выше асимптоты рис. 9.12), то ее координаты должны удовлетворять условию < … > : Кроме этого, так как асимптоты гиперболы , построим график

Решив полученную систему двух уравнений, найдем a = 5, b = 3, т.е. уравнение гиперболы Расстояние между вершинами гиперболы 2a = 10, между фокусами где ►

6) Дан эллипс Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.

Решение

Полуоси эллипса a _э = 3, По условию для гиперболы а _г = с _э = 2, с _г = а _э = 3. Следовательно, по формуле , и уравнение искомой гиперболы , построим график

7) Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку A (2; 4) и симметрична относительно оси Ox . Найти фокус и уравнения параболы и ее директрисы.

Решение

Так как парабола проходит через точку O (0; 0) и симметрична относительно оси Ox , то ее уравнение y ² = 2 px . Подставляя координаты точки А в это уравнение, т.е. 4² =2p × 2, найдем параметр p = 4. Следовательно, уравнение параболы y ² = 8 x . Уравнение ее директрисы x = –2, фокус параболы F (2; 0), построим график

8) Через точку А (3; –1) провести такую хорду параболы которая делилась бы в данной точке пополам.

Решение

Для построения параболы представим ее в виде

т.е. вершина параболы (2; –3). Уравнение прямой (хорды), проходящей через точку А (3; –1) в соответствии с имеет вид: y + 1 = k ( x – 3). Точки пересечения хорды с параболой определяются системой:

решение которой, после исключения y , сводится к уравнению:

или x ² – 4( k + 1) x + 4(3 k – 1) = 0. (*)

По условию точка А (3; –1) делит хорду пополам, следовательно, где x ₁ и x ₂ — корни уравнения (*).

По теореме Виета x ₁ + x ₂ = 4( k + 1), следовательно, или x_A = 2( k + 1) = 3, откуда и уравнение хорды: или x – 2 y – 5 = 0, построим график