Практические занятия по теме «Системы линейных уравнений»

Цель: Углубленное усвоение лекционного занятия и проверка знаний студентов по теме, научится решать задачи по теме.

Планы занятий:

Решение задач и одновременное повторение основных терминологий и алгоритмов. Примеры решения задач:

1) Решить методом Крамера систему

2) Решить систему уравнений:

Решение:

Составим и вычислим определители:

.

Система имеет единственное решение:

3) Решить систему уравнений:

Вычисляем определитель системы Δ и определители Δ_x , Δ_y , Δ_z разложением определителей по элементам первой строки:

    

4) По формулам Крамера решить систему:

Решение: Определитель  следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ , полученных из матрицы A заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Теперь по формулам Крамера :

Ответ: (1; 0; –2).

5) Решить систему уравнений

Переменные х ₁ и х ₂ - базисные, х ₃ и х ₄ - свободные.

Сложим уравнения и результат разделим на 2. Вычтем из второго уравнения первое и результат разделим на 2. Получим

- общее решение.

Из него можно получить частные и базисное решения.

- частное решение, полученное при х ₃ = 2 и х ₄ = 1.

 базисное решение при х ₃  х ₄  0. Оно же является опорным

6) Методом Гаусса решить систему:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы. Необходимо на первом шаге, чтобы а ₁₁ ≠ 0, но удобнее для вычислений, чтобы а ₁₁ = 1. Поэтому поменяем местами первую и четвертую строки, чтобы а ₁₁ стал равным 1:

Шаг 1. Умножим элементы первой строки на – 5, 3 и – 2 и прибавим их соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк, чтобы под элементом а ₁₁ в первом столбце образовалась «ступенька» из нулей.

Для проведения второго шага необходимо, чтобы в новой матрице а ₂₂ ≠ 0, но удобнее, чтобы а ₂₂ = 1 или а ₂₂ = –1. Поэтому переставим вторую и третью строки:

Шаг 2. Элементы второй строки умножаем на 4 и 3 и прибавляем соответственно к элементам третьей и четвертой строк, тогда под элементом a ₂₂ во втором столбце появится вторая «ступенька».

Шаг 3. Так как в полученной матрице а ₃₃ = 26 ≠ 0 , умножаем элементы третьей строки на и прибавляем к элементам четвертой строки. Получим:

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система имеет вид:

Из последнего уравнения х ₄ = 1, из третьего

из второго х ₂ = 11 + 11х ₃ – 4х ₄ = 11 + 110 – 41 = 7,

из первого х ₁ = –4 + х ₂ – 4х ₃ + 2х ₄ = –4 + 7 – 4  0 + 2  1=5.

Ответ: (5; 7; 0; 1) . Или можно продолжить преобразования

Левая часть расширенной матрицы приведена к диагональному виду. Выпишем систему:

Ответ: (5; 7; 0; 1) . ►

7) Методом Гаусса решить систему:

Решение. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам первой строки элементы второй:

Последняя строка соответствует уравнению 0  x ₁ + 0  х ₂ + 0  x ₃ = –7, которое не имеет решений; следовательно, система несовместна.

8) Найти общее решение системы:

.

Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду Гаусса:

.

Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы, которая равносильна исходной. Выпишем систему линейных уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Неизвестные x ₁ и x ₂ , соответствующие опорным элементам строк полученной матрицы, называются базисными , каждое из них входит в новую систему с коэффициентом единица и только в одно уравнение. Остальные неизвестные называются свободными . Выразим базисные неизвестные через свободные:

Свободные неизвестные — это произвольные числа, которые можно обозначить: x ₃ = с ₁ ; x ₄ = c ₂ , тогда x ₁ и x ₂ однозначно вычисляются и общее решение системы имеет вид:

.

Число констант равно разности между числом неизвестных 4 и рангом матрицы системы 2.

9) Решить матричным способом систему уравнений:

.

Решение. Составим матрицу этой системы:

.

Ранее мы нашли обратную матрицу для A :

.

.

Ответ: x ₁  = 2; x ₂  = 3; x ₃  = –1; x ₄  = –2 .

10) Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

Решение. Обозначим:

Тогда в матричной форме система имеет вид: АХ = В. Определитель матрицы  т.е. обратная матрица А ^–1 сущетвует :

Теперь по формуле :

Ответ: (3; 2; – l ).