Основная литература

22. Шипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для вузов.- 8-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 2007.- 479с., илл. ББК 22.1 МО

23. Башмаков, М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 208с. ББК 22.1 ФИРО

24. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 416с. ББК 22.1 ФИРО

25. Федорова Н.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7227-3

26. Лукша В.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7228-0

27. Щербакова Ю.В. Аналитическая геометрия. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

28. Березина Н.А. Линейная алгебра. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

Дополнительная литература

13. Высшая математика для экономистов: Учебник / Кремер Н.Ш. - М.: Юнити, 2006, 2008, 2009.

14. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова-М.:ИНФРА-М,2004.

15. Общий курс высшей математики (для экономистов): Учебник / Под ред. Ермакова В.И. – М.: Инфра-М, 2003.

16. Кузнецов Б. Т. Математика. М., ЮНИТИ, 2004

Формы текущего контроля знаний: решение задач.

Формы контроля самостоятельной работы студентов: ответы на вопросы, проверка решения задач, заданных на дом.

Практические занятия по теме «Прямая и плоскость»

Цель: Углубленное усвоение лекционного занятия и проверка знаний студентов по теме, научится решать задачи по теме.

Планы занятий:

Решение задач и одновременное повторение основных терминологий и алгоритмов. Примеры решения задач:

1) Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x – 2y = 0 и 5x + y = 0 и точку M ₁ (5; 17).

План решения

1. Найти точку пересечения прямых, которую обозначим M ₂ , для этого требуется решить систему уравнений

2. Использовать уравнение прямой, проходящей через две точки M ₁

(x ₁ ; y ₁ ) и M ₂ (x ₂ ; y ₂ ):

.

3. Привести полученное уравнение к общему виду Ax + Bx + C = 0, воспользовавшись свойством пропорции ( ).

Решение	Комментарий
Решим систему уравнений Подставим найденное значение х = 3 в одно из уравнений, например, в первое уравнение: 9 - 2у - 5 = 0, 2y = 4, y = 2. Таким образом, M 2 (3;2) ‑ точка пересечения прямых. Составим уравнение прямой, проходящей через две точки: .	Целесообразно использовать метод алгебраического сложения. Для этого уравнять коэффициенты перед одной из переменных, а затем сложить уравнения. Можно обе части разделить на 2, тогда уравнение примет вид: x + y – 1 = 0.

2) Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 5y – 9 = 0 и –3x + 2y + 1 = 0.

План решения

1. Решить систему уравнений

Решение

Решим систему уравнений методом алгебраического сложения (можно методом подстановки).

Подставим y = 1 в первое (второе) уравнение системы. Получим

4x + 5 × 1 – 9 = 0, 4x – 4 = 0, x = 1.

Точка пересечения имеет координаты (1; 1).

3) Даны вершины ΔABC , A (1; 2), B (–3; 3), C (5; 0). Найдите уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины A .

План решения

1. Найти координаты вектора .

2. Высота, опущенная из вершины A , это прямая, проходящая через точку A и перпендикулярно стороне BC . Поэтому воспользоваться уравнением прямой, проходящей через точку и перпендикулярно вектору:

A (x – x ₀ ) + B (x – x ₀ ) = 0.

3. В это уравнение вместо x ₀ , y ₀ подставить координаты точки A , вместо A и B подставить координаты вектора .

4. Привести уравнение к виду Ax + Bx + C = 0.

Решение

Подставим координаты точки и вектора в уравнение прямой A (x – x ₀ ) + B (x – x ₀ ) = 0:

8(x – 1) – 3(y – 2) = 0,

8x – 8 – 3y + 6 = 0,

8x – 3y – 2 = 0.

4) Найдите уравнение прямой, проходящей через точки M ₁ (–4; 3) и M ₂ (5; –2).

План решения

1. Использовать уравнение прямой, проходящей через две точки

M ₁ (x ₁ ; y ₁ ) и M ₂ (x ₂ ; y ₂ ):

.

2. В это уравнение вместо x ₁ , y ₁ подставить координаты точки M ₁ , а вместо x ₂ , y ₂ подставить координаты точки M ₂ .

3. Пользуясь свойством пропорции, привести полученное уравнение к виду Ax + Bx + C = 0.

Решение

, .

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

,

,

–5(x + 4) = 9(y – 3),

–5x – 20 – 9y + 27 = 0,

–5x – 9y + 7 = 0.

5) Найдите угол между прямыми y = 5x + 7 и 3x + 2y – 1 = 0.

План решения

1. Привести уравнения прямых к виду l ₁ : k ₁ x + b ₁ и l ₂ : k ₂ x + b ₂ и определить угловые коэффициенты прямых k ₁ и k ₂ .

2. Воспользоваться формулой для нахождения угла φ между прямыми l ₁ и l ₂ :

.

Решение

l ₁ : y = 5x + 7, k = 5.

Следовательно, φ = 45º .

Замечание

Если tg φ < 0, то φ — тупой угол.

6) Уравнение 4x – 3y + 24 = 0 преобразовать к уравнению «в отрезках».

План решения

Уравнение «в отрезках» имеет вид .

1. Перенести свободный член вправо и разделить обе части уравнения на него.

2. Все коэффициенты и знаки убрать в знаменатели дробей.

Решение

4x – 3y + 24 = 0,

,

.

7) Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 3 и составляющей с осью Ox угол φ = 60º .

План решения

1. Воспользоваться уравнением прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b , где k = tg φ, φ — угол между прямой и осью Ox , b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy .

Решение

y = kx + b , b = 3.

8) Стороны AB , BC , AC треугольника ABC заданы соответственно уравнениями 8x + 3y + 1 = 0, 2х + у - 1 = 0, 3x + 2y + 3 = 0. Определить координаты вершин треугольника.

План решения

Вершины ΔABC — это точки пересечения соответствующих сторон.

1. Решить три системы уравнений, беря попарно уравнения сторон ΔABC .

Решение

Решение

Комментарий

AB : 8x + 3y + 1 = 0, BC : 2x + y – 1 = 0, AC : 3x + 2y + 3 = 0. 8 × 1 + 3y + 1 = 0, 3y = –9, y = –3. Таким образом, A (1; –3). 8 × (–2) + 3y + 1 = 0, 3y = 15, y = 5. Таким образом, B (–2 ; 5 ). 2 × 5 + y – 1 = 0, y = –9. Таким образом, C (5; –9). В итоге: A (1; –3), B (–2 ; 5 ), C (5; –9).

Вершина A образована пересечением сторон AB и AC , поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон. Систему решаем методом алгебраического сложения. Уравниваем коэффициенты перед y . Найденное значение x подставим в первое (или второе) уравнение. Все остальные системы решаем аналогично. Вершина B образована пересечением сторон AB и BC , поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон. Подставим x = –2 в первое уравнение. Вершина C образована пересечением сторон AC и BC , поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон. Подставим x = 5 во второе уравнение системы.

9) Даны вершины ΔABC , A (2; –2), B (3; –5), C (5; 7). Напишите уравнения его сторон.

План решения

Каждая сторона треугольника — это прямая, проходящая через две точки.

1. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки M ₁ (x ₁ ; y ₁ ) и M ₂ (x ₂ ; y ₂ ):

.

2. Определить через какие точки проходит каждая сторона.

Решение

, , , .

Приведем уравнение к общему виду

–3(x – 2) = 1(y + 2),

–3x + 6 = y + 2.

–3x – y + 4 = 0 или 3x + y – 4 = 0.

, , , .

12(x – 3) = 2(y + 5),

12x – 36 = 2y + 10,

2x – 2y – 46 = 0 или 6x – y – 23 = 0.

, , , .

9(x – 2) = 3(y + 2),

9x – 18 = 3y + 6,

9x – 3y – 24 = 0 или 3x – y – 8 = 0.

В итоге уравнения сторон имеют вид:

AB : 3x + y – 4 = 0, BC : 6x – y – 23 = 0, AC : 3x – y – 8 = 0.

10) Найти расстояние от точки P (2; 3; –1) до прямой .

План решения

1. Определить координаты направляющего вектора прямой, заданной уравнением ,  и координаты точки M ₁ (x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ).

2. Найти векторное произведение векторов  и

,

3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и

4. Найти расстояние d , которое является высотой параллелограмма:

, где  — длина вектора .

Решение

Решение	Комментарий
координаты точки M 1 (1; 2; 13), координаты направляющего вектора . Найдем векторное произведение векторов  и . . . Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах  и . Высота параллелограмма и есть искомое расстояние . . Тогда  — расстояние от точки P до прямой.	Векторное произведение векторов  и  это вектор, координаты которого определяются формулой                     , т.е. площадь параллелограмма равна длине вектора векторного произведения.

11) Найдите координаты точки K пересечения прямой  с плоскостью x + 2y – 3z – 4 = 0.

План решения

1. Уравнение прямой записать в параметрическом виде:

где M ₀ (x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) — координаты точки,  — координаты направляющего вектора.

2. Решить систему уравнений:

Решение

Из канонического уравнения прямой  возьмем точку M ₀ (2; 3; –1) и направляющий вектор  и запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Решим систему уравнений, состоящую из параметрических уравнений и уравнения плоскости:

Выражения для x , y и z подставим в последнее уравнение и найдем t :

(2 + 4t ) + 2(3 + 2t ) – 3(–1 + 5t ) – 4 = 0,

2 + 4t + 6 + 4t + 3 – 15t – 4 = 0,

–7t + 7 = 0,

t = 1.

Делая обратную подстановку, найдем x , y и z :

, , .

Таким образом, координаты точки пересечения прямой и плоскости K (6; 5; 4).

12) Найти острый угол между прямыми  и .

План решения

1. Найти координаты направляющих векторов , .

2. Воспользоваться формулой , где  — модуль скалярного произведения векторов  и .

,  — длины векторов  и .

Решение

Из уравнения прямых имеем

, .

, .

.

13) Составить канонические уравнения прямой

План решения

1. Записать канонические уравнения прямой .

Чтобы их составить нужно знать координаты точки M ₀ (x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) и координаты направляющего вектора .

2. Найти координаты точки M ₀ . Для этого одну из переменных приравнять к нулю и решить полученную систему.

3. Найти координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора взять вектор , где ,  — координаты нормальных векторов плоскостей, определяющих прямую как линию их пересечения, т.е.

если

то  и .

Тогда .

Решение

1. Найдем координаты точки M ₀ . Для этого приравняем в данной системе z к нулю, т.е. пусть z = 0. Тогда система примет вид

Подставим найденное значение x в первое уравнение системы.

2(–14) – 2y + 3 = 0 ,

–28 – 2y + 3 = 0 ,

– 2y – 25 = 0 ,

.

Таким образом, M ₀ (–14; –12,5; 0) .

Замечание

Точка M ₀ может иметь другие координаты. Всё зависит от того, какое значение и какой переменной придается.

2. Найдем координаты направляющего вектора. Для этого определим координаты нормальных векторов:  и .

Тогда

Таким образом, канонические уравнения имеют вид .

14) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (3; –4; 2) и (2; 5; –1).

План решения

1. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки M ₁ (x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ) и M ₂ (x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ):

.

Решение

 и .

, .

15) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M ₁ (5; –3; 2) и параллельно вектору .

План решения

1. Воспользоваться уравнением , где M ₀ (x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) — координаты точки;  — координаты направляющего вектора.

Решение

.

16) Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Oy и точку   M ₁ (3; –2; 5).

План решения

Для составления данного уравнения плоскости следует воспользоваться условием компланарности трех векторов.

1. Взять точку M (x ; y ; z ) с текущими координатами, лежащую в искомой плоскости.

2. Найти координаты векторов  и .

3. На оси Oy взять единичный вектор .

4. Составить уравнение плоскости в виде , т.е. .

Решение

Возьмем точку M (x ; y ; z ).

Найдем координаты векторов  и :

.

Составим уравнение ,

,

–5x + 3z = 0.

17) Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми  и

План решения

1. Найти координаты точек, лежащих на прямых. Если прямая задана параметрическими уравнениями  и  

то M ₁ (x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ) и M ₂ (x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ).

2. Найти координаты направляющих векторов  и .

3. Воспользоваться формулой

, знак «+» берется, если определитель третьего порядка положителен, «–» — в противном случае.

Решение

M ₁ (3; 7; 1) , M ₂ (5; 8; 2) , , .

;

вычислим отдельно

.

Таким образом, .

18) Найдите координаты точки Q , симметричной точке P (2; 1; –1) относительно плоскости, проходящей через точки M ₁ (1; 2; –3), M ₂ (2; 0; 1), M ₃ (–1; 1; 2).

План решения

1. Составить уравнение плоскости α, проходящей через точки M ₁ (x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ), M ₂ (x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ), M ₃ (x ₃ ; y ₃ ; z ₃ ) по формуле .

2. Найти точку R , проекцию точки P на плоскость α. Для этого:

2.1. Составить уравнение перпендикуляра к плоскости α, проходящего через точку P, воспользовавшись уравнением  

где (x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) — координаты точки P, (p ; q ; r ) — координаты направляющего вектора, в качестве которого выступает нормальный вектор плоскости .

2.2. Найти точку R , как пересечение прямой PR и плоскости α, решив систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и плоскости.

3. Найти точку Q , которая является вторым концом отрезка PQ , для которого серединой будет точка R — проекция точки P на плоскость α. Для этого воспользоваться формулами

, , .

x ₂ = 2x – x ₁ , y ₂ = 2y – y ₁ , z ₂ = 2z – z ₁ , где (x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ) — координаты точки P , (x ; y ; z ) — координаты точки R .

Решение

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M ₁ , M ₂ , M ₃ :

,

,

,

α:  –2x – 7y – 3z + 7 = 0— уравнение плоскости.

Координаты нормального вектора плоскости: .

Составим уравнение перпендикуляра к плоскости α, проходящего через точку P :

Найдем точку R , пересечения перпендикуляра и плоскости:

Следовательно, , , .

Точка .

Найдем координаты точки Q по формулам:

,

,

.

.

19) Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые  и .

План решения

1. Взять точку M (x ; y ; z ) с текущими координатами.

2. Записать координаты направляющего вектора  и координаты точек M ₁ (x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ) и M ₂ (x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ), лежащих на прямых.

3. Найти координаты векторов  

4. Составить уравнение плоскости по формуле

.

Решение

M (x ; y ; z ), M ₁ (–2; 1; –3) , M ₂ (1; –2; 2) , .

, .

Уравнение плоскости

,

,

–21x – y + 12z –5 = 0 — уравнение плоскости.