Приклад виконання контрольної роботи

Задача 1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера, методом Гауса і матричним.

Розв’язання. Матричний метод. Якщо визначник матриці системи не дорівнює нулеві, то розв’язок шукатимемо за формулою:

,

де – обернена матриця системи, – матриця невідомих, – матриця вільних членів.

Запишемо матриці для даної системи рівнянь:

.

Обернену матрицю системи шукатимемо за формулою:

,

де – алгебраїчні доповнення елементів .

Знайдемо визначник матриці системи та її алгебраїчні доповнення:

,

,

,

Аналогічно отримуємо

Отже, обернена матриця до матриці системи буде мати вигляд:

.

Знайдемо розв’язок системи:

.

Тобто, .

Метод Крамера. Якщо визначник матриці системи, не дорівнює нулеві, то розв’язок цієї системи можна також шукати за допомогою формул Крамера:

,

де – визначник матриці системи, – визначник матриці сис­теми, у якій перший стовпець замінено вільними членами, і – відповідно другий та третій рядки замінені вільними членами.

Знайдемо визначники , і :

Тоді,

.

Метод Гауса. Цей метод ще носить назву метода виклю­чення невідомих. Випишемо розширену матрицю системи та за допомогою додавань рядків цієї матриці помножених на певне число утворимо нулі нижче головної діагоналі.

Отриману розширену матрицю запишемо у вигляді системи рівнянь:

Задача 2. Дано координати вершин піраміди ABCD. Знайти: а) довжину ребра АВ; б) кут між ребрами АВ і АС; в) площу трикут­ника АВС; г) об’єм піраміди АВСD.

A (1 ; 1 ; –2),

B (1 ; 0 ; 1),

C (–2 ; 1 ; –3),

D (–3 ; 4 ; 0).

Розв’язання. Перед виконанням завдання знайдемо коорди­нати таких векторів:

,

,

.

а) Тоді, довжина ребра АВ:

б) Кут між ребрами АВ і АС знайдемо за формулою:

,

де, ,

, .

Тоді,

.

в) Площу трикутника АВС знайдемо за формулою:

.

Знайдемо векторний добуток векторів та :

.

.

Тоді,

Підставляємо отримане значення в формулу для знаходження площі трикутника:

г) Об’єм піраміди АВСD знайдемо за формулою:

.

Знайдемо мішаний добуток

.

Тоді,

Задача 3. У трикутнику, заданому вершинами А, В і С, знайти: а) рів­няння сторони АВ; б) рівняння прямої, що проходить через точку С паралельно до АВ; в) рівняння медіани АМ, що проведена з вершини А; г) рівняння і довжину висоти АN, що проведена з вершини А; д) гострий кут між медіаною АМ та висотою АN.

A (–3 ; –2),

B (2 ; 4),

C (0 ; 1).

Розв’язання.

а) Рів­няння сторони АВ складемо за допомогою рівності:

.

Тоді,

б) Для знаходження рівняння прямої, що проходить через точку С паралельно до АВ використаємо рівність:

,

де – направляючий вектор прямої.

Оскільки пряма паралельна до АВ, то

.

Тоді,

.

в) Для знаходження рівняння медіани АМ використаємо рівність:

.

Координати точки М визначимо, як середини відрізка ВС:

; .

Тоді,

.

г) Рівняння висоти АN знайдемо за допомогою рівності:

,

де – нормальний вектор прямої.

Оскільки висота перпендикулярна до АВ, то

.

Тоді,

, або .

Довжину висоти АN можна знайти, як відстань від точки А до прямої ВС за формулою:

.

Складемо рівняння прямої ВС:

Або .

Тоді,

д) Гострий кут між медіаною АМ та висотою АN знайдемо за формулою:

де – кутові коефіцієнти медіани АМ та висоти АN.

Знайдемо кутові коефіцієнти:

АМ: ;  ;  ;  .

АN: ;  ;  .

Тоді, .

Задача 4. Дано координати точок A, B, C, D. Знайти: а) рівняння площини АВС; б) рівняння прямої DВ та DС; в) кут між прямими DВ та DС; г) відстань від точки D до площини АВС.

A (2 ; 1 ; 0),

B (–1 ; 0 ; 3),

C (1 ; –3 ; 5),

D (–3 ; 2 ; 2).

Розв’язання.

а) Рівняння площини АВС знайдемо за допомогою рівності:

.

Тоді,

;  .

,

.

б) Рівняння прямої DВ знайдемо за допомогою рівності:

.

Тоді, DВ: ;  .

Аналогічно складаємо рівняння прямої DС:

;  .

в) Кут між прямими DВ та DС знайдемо за формулою:

,

де ; .

Тоді,

.

г) Відстань від точки D до площини АВС знаходиться за формулою:

.

Рівняння площини АВС має вигляд , тоді

Отже,

(лін.од.)

Задача 5. Знайти похідну заданих функцій.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Розв’язання. Для знаходження похідних заданих функцій будемо використовувати таблицю основних похідних (додаток А) то правила диференціювання[див. 2, 9, 12, 14].

Задача 6. Знайти неозначені інтеграли.

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Розв’язання. При знаходженні неозначених інтегралів будемо використовувати таблицю інтегралів (додаток В) та основні методи інтегрування такі як заміна змінної, інтегрування частинами та інші [див. 2, 9, 12, 14].

Метод заміни змінної

Метод інтегрування частинами

.

Інтегрування деяких тригонометричних виразів

Задача 7. Знайти означені інтеграли.

а) ; в) .

Розв’язання. Для знаходження означених інтегралів будемо використовувати формулу Ньютона-Лейбніца та основні методи інтегрування [див. 2, 9, 12, 14].