41 Построение моделей временных рядов в соответствии с методологией Бокса-Дженкинса. Модели arima.

Для временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. До сих пор мы рассматривали модели, в которых в качестве регрессора выступала переменная «t» - время. В эконометрике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные, т.е. переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием рассматриваемых регрессионных моделей является то, что представленные в них объясняющие переменные являются величинами случайными.

Авторегрессионная модель р-го порядка имеет вид:

, где - некоторые константы.

Она описывает изучаемый процесс в момент времени t в зависимости от его значений в предыдущие моменты t-1, t-2, …,t-p.

Если исследуемый процесс в момент t определяется его значениями только в предшествующий период t-1, то рассматривают авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель AR(1) – марковский случайный процесс):

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней (не путать с аналогичным термином при сглаживании временных рядов), в которой моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (ошибок) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней q-го порядка или модель MA(q) имеет вид:

В эконометрике используются также комбинированные модели временных рядов AR и MA – авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно (или ARMA(p,q)) имеет вид: .

Использование соответствующих авторегрессионных моделей для прогнозирования экономических показателей, т.е. прогноз на базе рассмотренных моделей, может оказаться весьма эффективным (как правило, в краткосрочной перспективе).

Модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего порядка ARIMA(p,q,r)

Обозначим:

(1)

(2)

(3)

Случайная последовательность называется рядом ARIMA(p,q,r), если ряд является (стационарным) рядом ARMA(p,q), т.е. ряд является стационарным (в слабом смысле) и имеет место равенство: