9. Свойства ситуаций равновесия по Нэшу в антагонистических играх. Пример отсутствия этих свойств в неантагонистических играх.

Если в антагонистической игре существует равновесие по Нэшу, то пара стратегий будет являться равновесной тогда и только тогда, когда стратегия каждого игрока — максиминная. Этот в некотором смысле удивительный результат обеспечивает связь между индивидуальным принятием решения и рассуждением, объясняющим причину введения такого понятия, как равновесие по Нэшу.все равновесные ситуации в антагонистических играх приводят к одним и тем же выигрышам. Это свойство редко выполняется в неантагонистических играх.

10. Смешанные стратегии. Теорема о существовании равновесия. Теорема Нэша гласит, что в конечных играх n – лиц равновесие в смешанных стратегиях существует всегда. Если равновесия нет для чистых стратегий, то оно всегда (в конечном случае) есть в смешанных стратегиях, но наоборот может быть неверно. в любой игре всегда наступает равновесие и притом только одно. Смешанная стратегия называется вполне смешанной, если она включает

все чистые с положительными вероятностями. Смешанное равновесие Нэша σi

, i ∈ M на-

зывается совершенным, если существует последовательность вполне смешанных наборов

стратегий игроков σi,n → σi, такая что для любого n σi не хуже никакой другой стратегии

игрока, если остальные игроки используют стратегии σ·,n.

11. Критерии и свойства оптимальных стратегий. Теорема 8.1. Пусть V- цена игры,  - функция выигрыша, За и - множества смешанных стратегий соответственно игроков А и В.

1. Для того чтобы стратегия  игрока А была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

для любого 

т.е. выбор игроком А оптимальной стратегии  гарантирует ему выигрыш  , не меньший цены игры V, при любой стратегии  игрока В.

2. Для того чтобы стратегия  игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

для любого  ,

т. е. выбор игроком В одной из своих оптимальных стратегий гарантирует ему проигрыш, не больший цены игры У, при любой стратегии Р игрока А.

Теорема 8.2. Пусть V - цена игры,  - функция выигрыша,  и  - множества чистых стратегий соответственно игроков А и В.

1. Для того чтобы стратегия  игрока А была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы

2. Для того чтобы стратегия  игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 8.3(об активных стратегиях). Пусть V- цена игры,  и  - оптимальные стратегии соответственно игроков А и В. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Для любой активной стратегии  игрока А выполняется равенство

.

2. Для любой активной стратегии  игрока В выполняется равенство

.

12. Описание матричной игры.

Наиболее разработанной в теории игр является конечная парная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра двух лиц или двух коалиций), называемая матричной игрой.

Рассмотрим такую игру G, в которой участвуют два игрока А и В, имеющие антагонистические интересы: выигрыш одного игрока равен проигрышу второго. Так как выигрыш игрока А равен выигрышу игрока В с обратным знаком, можем интересоваться только выигрышем аигрока А. Естественно, игрок А хочет максимизировать а, а игрок В - минимизировать а. Для простаты отождествим себя мысленно с одним из игроков (пусть это будет игрок А), тогда будем называть игрока В - “противник” (разумеется, каких-то реальных преимуществ для А из этого не вытекает).

Пусть у игрока А имеется m возможных стратегий А₁, А₂, ..., А_m, а у противника - n возможных стратегий В₁, В₂, ..., B_n (такая игра называется игрой m х n).

Обозначим через a_ij выигрыш игрока А, в случае, если он воспользуется стратегией А_i, а игрок В - стратегией В_j. Предполагается, что выигрыш a_ij известен. Тогда мы можем составить прямоугольную таблицу (матрицу), в которой перечислены стратегии игроков и соответствующие выигрыши (рис.2.1).

B j Ai	B1	B2	...	Bn
A1	a11	a12	...	a1n
A2	a21	a22	...	a2n
...	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	amn

Рис. 2.1.

Если такая таблица составлена, то говорят, что игра G приведено к матричной форме. Отсюда рассматриваемая игра и получила название матричная. Само по себе приведение игры к такой форме уже может составить трудную задачу, а иногда и невыполнимую, из-за необозримого множества возможных стратегий игроков и трудности определения выигрышей a_ij.