21. Приближенный метод решения матричных игр mxn.

Пусть непрерывная игра с платежной функцией F(x, y) не имеет решение в смешанных стратегиях, причем, , . Тогда

.

Пусть f₁(x), f₂(y) - соответственно плотности вероятности на отрезках [a,b], [c,d]. Соответственно f₁^*(x), f₂^*(x) - оптимальные смешанные стратегии, если выполняется соотношение:

, где

(6)

Поскольку , преобразуем левую часть:

В частности, , или

Для правой части аналогично: .

Тогда - необходимое условие существования решения.

Пример.

.

Если , то при каких значениях k эти стратегии оптимальны?

- левая часть.

- правая часть.

Необходимое условие оптимальности: =>

Таким образом только при стратегии могут быть оптимальными.

Если задача нахождения седловой точки в смешанных стратегиях получается очень громоздкой, можно ограничиться максиминной и минимаксной стратегиями при мало отличающихся друг от друга верхней и нижней цен игры. В случае существенного отличия между верхней и нижней ценой игры, можно использовать метод итераций Брауна.

Метод состоит в следующем.

Один игрок, например первый, выбирает произвольно одну из своих чистых стратегий (X_i1). При этом условии второй игрок выбирает выгодную для него чистую стратегию Y_j1. Закончена первая итерация-партия.

Игрок первый, зная о выборе Y_j1, выбирает наиболее выгодную чистую стратегию X_i2. Второй игрок выбирает стратегию Y_j2 в предположении, что первый игрок будет применять стратегии X_i1 и X_i2 с вероятностями . Закончена вторая итерация-партия.

Первый игрок выбирает X_i3 в предположении, что второй игрок применяет Y_j1 и Y_j2 с вероятностями . Теперь игрок второй знает о выборе игроком первым стратегий X_i1, X_i2, X_i3. Он выбирает Y_j3 в предположении, что первый игрок применяет X_i1, X_i2, X_i3 с вероятностями . На этом заканчивается третья итерация-партия.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено решение с приемлемой точностью.

22. Ситуации, оптимальные по Парето.

 Ситуация, когда никакие возможные изменения не могут улучшить благосостояние хотя быодного индивида, не ухудшая при этом экономическое положение остальных. Она характеризуетперераспределение конечного продукта между различными потребителями, перераспределениепроизводственных факторов в пользу различных отраслей промышленности и сдвиги в структурепроизведенного конечного продукта. Оптимальность по Парето можно лучше пояснить на ряде отрицательныхпримеров. Если при существующем распределении благ обмен двумя товарами между двумя потребителямиимеет положительное сальдо и кривые безразличия (indifference curves) потребителей различаются наклоном,то товарообмен может обогатить их обоих, но в этом случае ситуация не является оптимальной по Парето.Если для двух товаров при положительном уровне производства кривая безразличия для любого потребителяи трансформационная кривая для любого производителя различаются углом наклона, то изменениеструктуры выпущенных товаров может привести к обогащению кого-либо, не нанося ущерба остальным; такаяситуация также не оптимальна по Парето. При постоянной или убывающей доходности в масштабах всейэкономики оптимальность по Парето часто определяется с точки зрения предельных равенств. Если где-либов экономике наблюдается возрастание доходности, то оптимальность по Парето не может быть непременнообеспечена путем нахождения предельных равенств: локальный оптимум может не быть глобальнымоптимумом, так что оптимальная ситуация может означать угловые решения.