23. Неантагонистические игры.

Неантагонистическая игра — парная игра,в которой игроки преследуют разные,но не прямо противоположные цели.

Введём формальное описание неантагонистической игры (называемой также игрой с ненулевой или с непротивоположными интересами) двух лиц. Каждый игрок обладает некоторым набором стратегий: – стратегии первого игрока, где x – его отдельная стратегия; – стратегии второго игрока, где y – его отдельная стратегия. Каждая пара называется исходом игры. На множестве исходов заданы две функции: – функция полезности (выигрыш) первого игрока; – функция полезности (выигрыш) второго игрока. Частным случаем неантагонистической игры двух участников служит игра, в которой каждый игрок имеет конечное число стратегий. В игре с непротивоположными интересами возможны случаи, когда (2.1) В случае (2.1) оба участника исходу предпочитают исход . Если бы участники могли договориться между собой, то они выбрали бы стратегии и Возможно также, что выполняется следующая система(2.2) В системе (2.2) для первого игрока исход лучше чем , а второму всё равно. Следовательно, возможен компромисс между игроками. В играх с непротивоположными интересами очень важным является вопрос, могут ли участники заключать между собой соглашения, т.е. могут ли они договариваться о совместных действиях. Игры, в которых участники могут заключать между собой соглашения, называются кооперативными. В противном случае, такие игры называются некооперативными. Возможны также случаи, когда один из участников выбирает свою стратегию, руководствуясь предполагаемыми действиями другого участника. Таким образом, возникают возможности, которых нет в игре с нулевой суммой: 1) сообщать друг другу о своих намерениях; 2) угрожать партнёру; 3) блефовать (т.е. давать ложные сигналы о своих действиях); 4) накапливать опыт игры; 5) принимать компромиссные решения. Важно отметить следующее: если в игре с нулевой суммой игрокам было важно скрывать свои намерения, то в играх с нулевой суммой иногда бывает выгодно информировать партнёра о своих действиях.

24. Биматричные игры. Методы их решения.

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А – может выбрать любую из стратегий А₁, ... , А_т,

игрок В – любую из стратегий В₁, …, В_n

При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно:

если игрок А выбрал i-ю стратегию , а игрок В – k-ю стратегию , то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу , а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу .

Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.

Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы (первая из них описывает выигрыши игрока А, а вторая – выигрыши игрока В).

Здесь А – платежная матрица игрока А, а В – платежная матрица игрока В.

При выборе игроком А i-й стратегии, а игроком В – k-й стратегии их выигрыши находятся в матрицах выплат на пересечении i-х строк и k-x столбцов: в матрице А это элемент , а в матрице В – элемент .

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны), получаются две платежные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная.

Замечание. Рассматриваемые матричные игры, можно рассматривать и как биматричные, где матрица выплат игроку В противоположна матрице выплат А:

В общем случае биматричная игра – это игра с ненулевой суммой.

Класс биматр. игр значительно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а, значит, неизбежно увеличиваются и трудности, встающие на пути их успешного разрешения.

Пример. «Студент — Преподаватель».