9.8. Включение rlc контура под постоянное напряжение
Рассмотрим
процесс при нулевых начальных условиях,
т.е.
,
.
Уравнение цепи запишется в виде
. (9.29)
Его решение
. (9.35)
Ток установившегося режима равен нулю, поэтому
;
.
Начальные условия: i(0) = 0 = A1 + A2.
Учитывая,
что
,
при t = 0 получим
;
;
. (9.48)
Закон изменения тока в этом и предыдущем случае один и тот же, только токи отличаются знаками. Напряжение на конденсаторе также изменяется по подобному закону, только в этом случае он заряжается (рис. 9.16 и 9.17).
Лекция №29
9.9. Включение цепи rlc под синусоидальное напряжение
Ток
установившегося режима при приложенном
напряжении
будет равен
,
где
;
;
;
.
Пусть в начальный момент времени ток в цепи и напряжение на зажимах конденсатора равны нулю: i(0) = 0 и uC(0) = 0. Тогда
;
;
Рис. 9.17. Кривые
тока и напряжения при колебательном
процессе
;
;
;
;
(9.49)
; (9.50)
.
(9.51)
Для комплексных корней характеристического уравнения, т.е. когда переходный процесс является колебательным. В этом случае можно записать:
.
(9.52)
Рассмотрим
случаи, когда
и и
близки, но не равны друг другу. При этом
затухание будем предполагать малым,
т.е.
.
Пусть
.
Принимая во внимание, что
,
можно считать, что
и
.
Тогда
(9.53)
Кривая изменения тока в этом случае показана на рис. 9.18.
Амплитуда тока и напряжения на конденсаторе постепенно нарастает от нуля до своего установившегося значения.
9.10. Переходные процессы в цепях со взаимной индуктивностью
Рассмотрим
переходные процессы в цепи, у которой
имеются две катушки с одинаковыми
параметрами (для упрощения вычислений:
и
)
имеют индуктивную связь.
Вторая катушка замкнута накоротко, а первая подключается к источнику постоянного напряжения (рис. 9.19).
M
Токи i1 и i2 связаны уравнениями:
,
(9.28)
.
(9.29)
В
данном случае имеем нулевые начальные
условия, т.е.
.
Установившиеся
значения токов –
.
Приравняв нулю главный определитель, найдем корни характеристического уравнения:
,
откуда
.
При этом токи будут равны
,
(9.30)
.
(9.31)
Для нахождения постоянных интегрирования А1 и А2 находим . Для этого умножим (9.28) на L, а (9.29) на М и вычтем его из первого уравнения при t = 0. Тогда
,
откуда
.
При t = 0
;
.
Отсюда
.
Аналогично находим
.
Тогда токи катушек будут равны
;
.
На рис. 9.20 построены кривые изменения токов i1 и i2. Одна из свободных составляющих затухает медленнее, т.е. имеет большую постоянную времени, определяемую суммой индуктивности L и взаимной индуктивности M, а вторая затухает быстрее, так как ее постоянная времени определяется разностью L – M. Для сравнения на рис. 9.20 показано, как изменялся бы ток первой катушки при ее включении, если бы вторая была разомкнута (штриховая линия).
Поскольку при включении токи катушек имеют противоположные направления, механические силы их взаимодействия стремятся оттолкнуть их друг от друга.
Получаемая от источника энергия преобразуется частично в тепло – джоулевы потери обеих катушек, а частично запасается в магнитном поле обеих катушек.
