Часть 2

Решение задач этой части контрольной работы основано на материале лекций из пособия [4], на которое мы и ссылаемся.

Задача №1

Вычислить неопределённый интеграл, применяя свойство линейности и таблицу интегралов:

.

Решение

Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель и, применив свойство линейности (2), разобьём интеграл на сумму интегралов, которые вычисляются с помощью формул 1 и 2 таблицы интегралов (см. лекцию 1):

=

(обоснование применения формулы 1 таблицы интегралов состоит в том, что во всех вариантах ).



Задача №2

Вычислить неопределённые интегралы, применяя метод подстановки:

1.

2.

3.

Решение

Для вычисления этих интегралов воспользуемся формулой замены переменной (3) и таблицей интегралов.

1. =



2. .



3. =



Задача №3

Вычислить неопределённый интеграл, содержащий квадратный трёхчлен в знаменателе:

1.

2.

Решение

Для вычисления интегралов такого типа рекомендуется выделить полный квадрат в трёхчлене, стоящем в знаменателе, после чего произвести замену, выбрав в качестве новой переменной выражение, стоящее в квадрате.

1. Выделим полный квадрат в знаменателе:

.

Заменим знаменатель подынтегральной функции на полученное выражение, проведём замену переменной и воспользуемся свойством линейности (2):

I= =

= = .

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно. В первом интеграле проведём замену переменной:

.

Второй интеграл является табличным (нужно применить формулу (9), так как во всех вариантах ): .

Вернувшись к переменной x, получим:

I= .



2. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении знаменателя:

.

Подставим выделенный полный квадрат в исходный интеграл и проведём замену переменной:

I=

.

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно. В первом интеграле заменим подкоренное выражение новой переменной:

.

Второй интеграл найдём по таблице (формула 11):

.

Подставив полученные выражения в исходный интеграл и вернувшись к старой переменной, имеем:

I= . 

Задача №4

Вычислить неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

1.

2.

3.

Решение

Для вычисления этих интегралов воспользуемся формулой интегрирования по частям (5).

1. =



2. I= = =

= .

Вычислим последний интеграл отдельно. Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Воспользуемся леммой 2 и представим её в виде суммы многочлена и правильной дроби делением "уголком" числителя на знаменатель (как это сделано в лекции 3, пример 19):

Таким образом . Поэтому:

Подставим полученное выражение в исходный интеграл:

.



3.

