Задача №2

Исследовать положительные ряды с помощью признаков сходимости:

1. .

2. .

3. .

4. .

Решение

1. Применим признак эквивалентности (см. теорему 7). Применяя эквивалентности  и  , справедливые при , получаем:

 .

Ряд является p-гармоническим с . Поэтому он сходится (см. пример 7). Из теоремы 2 тогда следует, что и ряд также сходится. Таким образом, исходный ряд сходится по признаку эквивалентности.

2. Запишем эквивалентность:  . К ряду применим признак Даламбера (см. теорему 4). Так как , то

,

так как во всех вариантах . Поэтому ряд сходится по признаку Даламбера. Значит исходный ряд также сходится по признаку эквивалентности.

3. Запишем эквивалентность:  . К ряду применим признак Даламбера (см. теорему 4). Так как , то

.

Поэтому ряд сходится по признаку Даламбера. Значит исходный ряд также сходится по признаку эквивалентности.

4. Так как , то можно применить интегральный признак Коши (см. теорему 3). Имеем:

.

Ряд расходится по интегральному признаку Коши.

Задача №3

Следующие ряды исследовать на абсолютную и условную сходимость:

1. .

2. .

3. .

План решения

1. Действуя так же, как в первом пункте задачи №2, легко показать, что ряд , составленный из модулей членов исходного ряда, расходится (проделайте это!). Исходный ряд является знакочередующимся, так как он имеет вид , где . Далее имеем: . Осталось доказать, что монотонно убывает, хотя бы начиная с некоторого номера N (проделайте это, вычисляя производную по переменной n от члена ). Таким образом, исходный ряд сходится по признаку Лейбница (см. теорему 9).

Итак, исходный ряд условно сходится.

2. В пункте 4 задачи №2 уже доказано, что ряд , составленный из модулей членов исходного ряда, расходится. Там же было отмечено, что . Исходный ряд является знакочередующимся, поэтому он сходится по признаку Лейбница.

Итак, исходный ряд сходится условно.

3. Точно так же, как в пункте 2 задачи №2, доказывается, что ряд , составленный из модулей членов исходного ряда, сходится (проделайте это!). Поэтому, применяя признак абсолютной сходимости (см. теорему 8), заключаем, что исходный ряд абсолютно сходится.

Задача №4

Найти области сходимости степенных рядов:

1. .

2. .

План решения

1. Так как , то по теореме 10 найдем радиус сходимости. Имеем: . Из теории пределов известно, что

. Поэтому и .

При исходный ряд превращается в ряд , который расходится (докажите это, применяя признак эквивалентности).

При получаем ряд , который сходится условно (покажите это, используя признак Лейбница). Полная область сходимости хорошо видна на схеме:

2. Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся формулой (9). Так как , то Поэтому

.

При получаем ряд , который расходится (докажите это, применяя признак эквивалентности).

При получаем знакочередующийся ряд , который сходится условно (покажите это, используя признак Лейбница). Полная область сходимости хорошо видна на схеме: