Часть 4

Решение задач данной части основано на материале лекций, изложенных в методическом пособии [2].

Задача № 1

1. . 2. . 3. (при ).

4. (при ).

План решения

1.   .

Закончить самостоятельно.

2. После замены , имеем:

.

Интеграл слева вычислить самостоятельно (можно использовать таблицы интегралов).

3. .

Получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка, где . Применим схему поэтапного решения, изложенную в примерах 4 и 5 лекций.

а) .

б)

.

в) .

г) – это общее решение данного д.у. Произвольная постоянная неявно входит в неопределенный интеграл, оставшийся невычисленным. Доведите до конца все необходимые выкладки!

4. – это уравнение Бернулли.

а) .

б) .

в)

Далее по той же схеме, что и в предыдущем примере (закончить самостоятельно).

Задача № 2

1. .

2. (при .

3. .

План решения

1. Это уравнения вида (19) (см. лекции). Поэтому:

.

Закончить самостоятельно.

2. Нетрудно усмотреть, что данное уравнение есть д.у. типа (20) наших лекций. Следуя схеме решения,

.

Полученное уравнение есть линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Решаем его обычным образом.

а) .

б)

.

в) .

г) .

Теперь подставляем найденную функцию z в равенство :

3. Данное уравнение есть д.у. типа (21) наших лекций. Имеем:

.

Учитывая, что получаем:

.

Остальное вычислить самостоятельно.

Задача № 3

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

План решения состоит в составлении характеристических уравнений, вычислении их корней и записи решений д.у. с помощью таблицы на стр. 14 (см. лекции):

1. .

2. .

3. .

4. .

Обозначение означает, что найдено общее решение однородного д.у.

В следующих примерах найти частные решения однородных уравнений y_чо, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

5.

6. .

План решения состоит в нахождении , записи системы уравнений для нахождения конкретных значений параметров , и получения y_чо подстановкой этих значений в .

5. Находим , а затем :

.

Реализуем начальные условия, подставляя в и вместо x единицу и приравнивая полученные выражения соответственно и :

.

Решим эту систему линейных уравнений относительно и с помощью правила Крамера. Имеем:

, так как во всех вариантах ;

Вычислив все эти определители, находим . Таким образом,

y_{чо .}

6.

.

Получаем систему:

Так же, как и в предыдущем примере, находим , вычисляем и и получаем y_чо.

Требуется довести до конца решения примеров из пунктов 5 и 6.

Задача № 4

1. ;

2. ;

3. .

План решения

1. Находим сначала :

.

Так как , а это число является двукратным корнем характеристического уравнения, то для нахождения y_чн мы должны применить случай 3 таблицы, представленной на стр. 15 наших лекций:

yчн .

(16)

Подставим (16) в исходное уравнение:

После преобразований получаем:

Поэтому y_чн и y_он y_чн  .

2. Находим :

Так как не является корнем характеристического уравнения, то для нахождения y_чн мы должны применить случай 1 таблицы (см. стр 15 лекций), то есть

yчн = ,

(17)

Подставим (17) в исходное уравнение:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, находим A и B, а, следовательно, и y_чн. Затем находим y_он.

Довести решение до конца! Заметим, что решение этого пункта полностью аналогично решению разобранного примера 13 (см. лекции, стр.16).

3. Имеем:

Т.к. не является корнем характеристического уравнения, то

yчн =

(17)

Подставим (17) в исходное уравнение:

Сначала приравниваем коэффициенты, стоящие в левой и правой частях перед функцией , а затем делаем то же самое с коэффициентами, стоящими перед функцией . Получаем систему уравнений:

.

Вычисляем главный определитель: . Данные всех вариантов обеспечивают неравенство нулю этого определителя. Поэтому правило Крамера применимо. Подсчитаем вспомогательные определители:

, .

Получаем: . Таким образом,

y_чн

и

y_он  .