Часть 3 Задача № 1

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной кривыми:

Решение

1. Построим чертеж:

Итак, нужно найти объем V тела, полученного вращением фигуры OAB вокруг оси Ох. Очевидно, , где – объем, полученный вращением вокруг Ох треугольника OАa, а – объем, полученный вращением вокруг Ох криволинейной трапеции aAB. Применяя формулу (28) и учитывая, что уравнение прямой OA имеем вид , получаем: .

Так как уравнение кривой AB имеет вид , то, положив в этом уравнении , получаем, что абсцисса точки B равна . Поэтому:

Чтобы найти абсциссу a точки пересечения A, решим систему уравнений:

Так как , то Подставив это значение a в и , получаем окончательный результат , который можно дать в приближенном виде. 

2. Построим чертеж:

Итак, нужно найти объем V тела, полученного вращением фигуры OBAC вокруг оси Ох. Очевидно, , где – объем, полученный вращением вокруг Ох криволинейной трапеции OBАa, а – объем, полученный вращением вокруг Ох криволинейной трапеции OCAa. Применяя формулу (28), получаем:

Чтобы найти абсциссу a точки пересечения A, решим систему уравнений:

.

Так как , то . Подставив это значение a в и , получаем окончательный результат , который можно дать в приближенном виде.



Задача № 2

Вычислить повторные интегралы:

; .

Решение

1. Сначала вычисляем внутренний интеграл по переменной y (считая x постоянной), а затем вычисляем внешний интеграл по переменной x:

.



2. Сначала вычисляем внутренний интеграл по переменной x (считая y постоянной), а затем вычисляем внешний интеграл по переменной y:



Задача № 3

Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

Решение

1. Сделаем чертеж:

Применяя формулу (46) перехода от двойного интеграла к повторному, получаем:



2 . Сделаем чертеж:

Найдем точки входа и выхода области D, то есть точки пересечения параболы и прямой . Для этого решим систему:

(здесь было учтено, что во всех вариантах ).

Опять применяя формулу (46), имеем:



Задача № 4

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры D, ограниченной кривыми:

Решение

1. Сделаем чертеж:

По свойству нормировки для двойного интеграла имеем:

.

Теперь, применяя формулу (46), переходим от двойного интеграла к повторному: =

=

Число b есть абсцисса точки пересечения прямых и . Поэтому:

Подставляя это значение b в полученное выражение для , получаем окончательный результат. 

2. Ввиду того, что во всех вариантах , приблизительный вид данной фигуры D таков:

Действуя так же, как и при решении пункта 1, получаем:

.

Числа a и b находим, решая систему уравнений:

Следовательно, .

