9. Главные линии плоскости. Линия наибольшего наклона плоскости

 Главные линии плоскости - это особые прямые, принадлежащие плоскости, позволяющие более точно выявить ориентацию плоскости относительно плоскостей проекций и упростить решение многих задач.      Главными линиями плоскости являются прямые уровня: горизонталь h, фронталь f и профильная р, а также линии наибольшего наклона, при помощи которых можно определить угол наклона плоскости к плоскостям проекций П₁, П₂, П₃.   Рис. 3.13.

   Линиями наибольшего наклона называют прямые данной плоскости перпендикулярные к прямым уровня этой плоскости. Прямая а наибольшего наклона плоскости Г (рис.3.1З-а) к плоскости проекций П₁ образует со своей проекцией а₁ на эту плоскость линейный угол двугранного угла плоскостей Г и П₁. При этом плоскость S(aÇa₁) перпендикулярна прямой h пересечения этих плоскостей и, следовательно, a^h и a₁^h₁. Так как h¹^h и h₁¹^h₁, то a^h¹ и a₁^h₁¹. Поэтому линия наибольшего наклона данной плоскости к плоскости П₁перпендикулярна к любой горизонтали этой плоскости, и ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали плоскости. Линию наибольшего наклона к П₁ часто называют линией ската.      Проведя аналогичные рассуждения относительно данной плоскости и П₂, можно заключить, что линия наибольшего наклона плоскости к П₂перпендикулярна к любой фронтали данной плоскости.      На рис.3.13-6 проведены: через точку С - горизонталь; через А - фронталь; через В - линия наибольшего наклона к П₁ (^h) и линия наибольшего наклона к П₂ (^f). 

10. Условие принадлежности точки плоскости. Привести примеры

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости 

11. Условие параллельности прямой и плоскости. Привести примеры

Может быть несколько положений прямой относительно некоторой плоскости.

1. Прямая лежит в некоторой плоскости.

2. Прямая параллельна некоторой плоскости.

3. Прямая пересекает данную плоскость.

Прямая является параллельной плоскости, когда она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рисунке 53 прямая АВ параллельна плоскости Р, так как она параллельна прямой MN, которая лежит в этой плоскости.

Когда прямая параллельна плоскости Р, в этой плоскости через какую-либо ее точку можно провести прямую, параллельную данной прямой. Например, на рисунке 53 прямая АВ параллельна плоскости Р. Если через точку М, принадлежащую плоскости Р, провести прямую NM, параллельную АВ, то она будет лежать в плоскости Р. На том же рисунке прямая CD не параллельна плоскости Р, потому что прямая KL, которая параллельна CD и проходит через точку К на плоскости Р, не лежит в данной плоскости.

12. Построение точки пересечения прямой и плоскости

Способ решения таких задач: проведение вспомогательной линии (на плоскости, на поверхности) конкурирующей с данной пря мой, а затем определение взаимного положения данной и вспомогательной прямых – является упрощенным толкованием так называемого способа посредников. В качестве посредника здесь используется проецирующая плоскость. При этом действуют следующим образом. Вначале через данную прямую проводится проецирующая плоскость (посредник) и находится прямая пересечения данной плоскости и проецирующей плоскости-посредника. Затем определяется относительное положение заданной прямой и прямой пересечения плоскостей. Поскольку прямая пересечения плоскостей является прямой принадлежащей заданной плоскости и конкурирующей с заданной прямой, то фактически в этом случае способ посредников есть способ конкурирующих прямых. Возможны три варианта расположения прямой и плоскости относительно друг друга: прямая может принадлежать плоскости, пересекаться с ней или быть ей параллельной. Из геометрии известно:

• прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости (т.е. она совпадает с некоторой прямой лежащей в плоскости), (рисунок 35а);

• прямая пересекается с плоскостью, если она пересекается с какой-либо прямой этой плоскости, (рисунок 35б);

• прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой- либо прямой лежащей в плоскости.

Таким образом определение взаимного расположения прямой и плоскости сводится, в общем случае, к определению взаимного расположения двух прямых – данной прямой и вспомогательной прямой, принадлежащей данной плоскости. Обычно в качестве вспомогательной прямой выбирают прямую, конкурирующую с данной прямой. Следовательно: чтобы определить взаимное расположение прямой l и плоскости, нужно на данной плоскости провести вспомогательную прямую α, конкурирующую с данной прямой l, и определить взаимное положение конкурирующих прямых l и α. Если эти прямые пересекаются в некоторой точке, то в этой же точке данная прямая пересекается с плоскостью. Если же конкурирующие прямые совпадают или параллельны, то данная прямая, соответственно, принадлежит или параллельна данной плоскости. Рассмотрим все три варианта. На рисунке 36а изображена прямая l и плоскость общего положения заданная треугольником АВС. Определим их взаимное положение. Построим на плоскости треугольника вспомогательную прямую α, горизонтально конкурирующую с прямой l. Прямую α в плоскости определяют точки 1 и 2, взятые на сторонах треугольника АС и СВ. С помощью этих точек прямая α легко строится на фронтальной проекции (виде спереди), где отмечаем, что прямые l и α пересекаются. Следовательно точка К – точка пересечения прямых и будет точкой пересечения прямой l с данной плоскостью. Определим видимость прямой l относительно плоскости треугольника. На фронтальной проекции видно, что левее точки К прямая l расположена ниже прямой α, а значит и плоскости треугольника. Поэтому на горизонтальной проекции (виде сверху) левее точки К прямая l будет невидимой, и наоборот, правее точки К – видимой. Видимость прямой l на фронтальной проекции (виде спереди) легко определить исходя из того, что плоскость треугольника является нисходящей. Поскольку нами уже определено, что левее точки К прямая расположена ниже плоскости, то она вместе с тем расположена и перед плоскостью. Это означает, что на фронтальной проекции (виде спереди) прямая l левее точки К видима, и наоборот, правее точки К – невидима. Для увеличения наглядности на рисунке 36 плоскость ограничена треугольником АВС, поэтому вне проекций треугольника прямая l изображена видимой. Если при построении вспомогательной прямой α, горизонтально конкурирующей с данной прямой l окажется, что l //α (рисунок 36б), то это означает, что прямая l параллельна плоскости треугольника. Поскольку прямая l расположена выше прямой α (это видно на фронтальной проекции), значит она расположена и выше плоскости треугольника, поэтому на горизонтальной проекции (виде сверху) она видима полностью. Учитывая, что плоскость – нисходящая, прямая l, находящаяся выше нее одновременно находится и за плоскостью. А это значит, что на фронтальной проекции (виде спереди) прямая невидима. Если же при построении вспомогательной прямой α окажется, что прямые совпадают на обеих проекциях (рисунок 36в), то прямая l принадлежит плоскости. Отдельно рассмотрим случай определения взаимного расположения профильной прямой и плоскости. Пусть даны: профильная прямая р, заданная двумя точками M и N, и плоскость общего положения, заданная треугольником АВС (рисунок 37). Как и в общем случае, по- строим на плоскости треугольника вспомогательную прямую α, конкурирующую с заданной прямой р. Для определения прямой α на плоскости, выделим на сторонах треугольника АС и АВ точки 1 и 2. Ясно, что прямая α будет как и прямая р профильной прямой. По заданным горизонтальной и фронтальной проекциям определить взаимное расположение прямых р и α не представляется возможным. Построим профильные проекции (вид слева) двух этих прямых. Так как их профильные проекции пересекаются, то прямые р и α тоже пересекаются, и точка их пересечения К является точкой пересечения прямой р с плоскостью треугольника АВС. Видимость прямой р относительно плоскости можно определить непосредственно из пространственного представления. Так как прямая р – восходящая (проекции ориентированы одинаково), а плоскость – нисходящая (проекции различно ориентированы), то прямая р от точки К в сторону точки М находится над и за плоскостью треугольника. Поэтому на виде сверху (на горизонтальной проекции) прямая р видима от точки К в сторону точки М и невидима Рисунок 37 40 40 в сторону точки N. На виде спереди (на фронтальной проекции) прямая р, наоборот, видима от точки К в сторону точки N и невидима в сторону точки М. Если профильные проекции (вид слева) прямых р и α окажутся параллельными или совпадут, то прямые будут соответственно параллельны или совпадут, а это означает, что профильная прямая р соответственно параллельна плоскости треугольника или принадлежит ей.