16. Условие параллельности двух плоскостей:
Пусть P1:A1x+B1y+C1z+D1=0, N1=(A1,B1,C1);
P2:A2x+B2y+C2z+D2=0, N2=(A2,B2,C2).
Плоскости P1 и P2 параллельны тогда и только тогда, когда N1∥N2⇔A1A2=B1B2= C1C2.
17. Построение линии пересечения двух плоскостей.
Одной
из основополагающих задач начертательной
г
еометрии
является задача на на построение линии
пересечения двух плоскостей общего
положения. Случаи задания плоскостей
бывают разные, но в любом случае вам
встретится задача, в которой будет
необходимо построить
линию пересечения двух плоскостей
заданных треугольниками (или
другими плоскими геометрическими
фигурами). Алгоритм решения такой задачи
я и предлагаю рассмотреть сейчас.
(Если же ваши плоскости заданы не треугольниками, а, например, параллельными прямыми, то приглашаю вас прочитать еще одинурок, посвященный тому, как найти линию пересечения двух плоскостей.)
Итак, даны две плоскости, заданные треугольниками АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы поочередно найти две точки пересечения двух ребер одного треугольника с плоскостью другого. Соединив эти точки мы получим линию пересечения двух плоскостей. Построение точки пересечения прямой с плоскостью более подробно было рассмотрено в предыдущем уроке, напомню только механические действия:
- Заключим прямую АС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми DE и DF - точки 1 и 2 - На горизонтальной проекции соединим проекции точек 1 и 2 и найдем точку пересечения получившейся линии с горизонтальной проекцией той прямой, которую мы заключали во фронтально-проецирующую плоскость, в этом случае - с прямой AC. Мы получили точку M. - Заключим прямую BС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми EF и DF - точки 3 и 4 Соединим их горизонтальные проекции и получим точку пересечения этой прямой с прямой ВС - точку N. - Соединив точки M и N мы получим линию пересечения плоскостей заданных треугольниками. По сути линия пересечения уже найдена. - Осталось лишь определить видимость ребер треугольников. Это делается методом конкурирующих точек.
18. Способ замены плоскостей проекций.
Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.
Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.