23. Пересечение многогранника с плоскостью частного положения

При пересечении гранной поверхности с плоскостью получается ломаная линия. Для ее построения достаточно определить точки пересечения ребер многогранника и секущей плоскости и соединить построенные точки с учетом их видимости (рис. 87). Секущая плоскость β(β₂) занимает фронтально проецирующее положение, поэтому точки пересечения ребер определяются как точки пересечения прямой общего положения и плоскости частного положения.

Рис. 87. Сечение многогранника плоскостью частного положения:

Видимость определяется методом конкурирующих точек. Грань ACS относительно плоскости П₁ невидима, следовательно, и линия (1₁–3₁) также невидима. Видимость на П₂, в данном случае, не определяется.

24. Пересечение многогранника с прямой линией.

Дана пирамида, основание которой  параллельно π₁. Основание представляет собой некоторый треугольник.

S – вершина пирамиды (Рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 – Пересечение поверхности пирамиды прямой

Требуется построить точки пересечения прямой m общего положения с поверхностью пирамиды.

Решение

1. Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость σ∈m и σ⊥π₂.

2. Строим сечение ∆ (123) поверхности пирамиды с плоскостью σ.

Решение задачи сводится к нахождению линии пересечения плоскостей общего положения (боковые грани пирамиды) и плоскости частного положения (плоскость σ).

Примечание. При наличии круто падающих рёбер (близких к вертикали), построение недостающей проекции точки на ребре по одной данной проекции  необходимо выполнять при помощи пропорционального деления отрезка.

3. В сечении находим точки M и N принадлежащие прямой m.

4. Определяем видимость прямой m.

25. Сечение многогранника плоскостью общего положения

Рассмотрим построение сечения призмы плоскостью α(a×l) (рис. 88):

• 1. Основание ABC принадлежит фронтально-проецирующей плоскости β(β₂), следовательно, линия пересечения основания с плоскостью α(a×l) определяется как линия пересечения проецирующей плоскости и плоскости общего положения:

 

• 2. Поскольку основание призмы ограничено треугольником ABC, точки пересечения полученной линии со сторонами треугольника являются искомыми точками сечения: AC×n=I; AB×n=II.

• 3. Точка III определяется как точка пересечения ребра AA' с плоскостью общего положения α(a×l) (первая позиционная задача):

Точки пересечения прямых (BB') и (CC') находятся за пределами ребер призмы, поэтому построения этих точек не показаны.

• 4. Сечение данной призмы плоскостью α(a×l) представляет собой треугольник I, II, III. Видимость сечения определяется в соответствии с видимостью граней призмы.

26. Ечение поверхности вращения плоскостью частного положения

Рассмотрим построение линии пересечения поверхности закрытого тора с фронтально-проецирующей плоскостью μ(μ₂) (рис. 89). Сначала определяются опорные точки: 1 и 2 – точки пересечения плоскости μ(μ₂) с плоскостью основания тора, точка 3 – точка пересечения плоскости μ(μ₂) с очерковой образующей тора. Промежуточные точки 4 и 5 строятся при помощи вспомогательной плоскости уровня γ(γ₂), которая рассекает поверхность тора по линии:  - окружность радиуса r, а плоскость μ(μ2) – по фронтально-проецирующей прямой:

Точки 4 и 5 пересечения полученных линий принадлежат секущей плоскости μ(μ₂) и линии l поверхности тора, то есть принадлежат плоскости и поверхности одновременно, а следовательно, являются точками искомой линии пересечения m.

Точки 6, 7, 8 и 9 определяются аналогично. Полученные точки соединяют плавной лекальной кривой и определяют видимость линии пересечения m относительно поверхности.

При построении сечений поверхности плоскостью общего положения выполняют такое преобразование комплексного чертежа, при котором плоскость займет частное положение.