8.2 Порядок расчета при помощи интеграла Дюамеля

1. Определяется переходная характеристика h'(t) цепи по току или напряжению. В зависимости от вида переходной характеристики и вида внешнего напряжения выбирается форма записи интеграла Дюамеля (8.1)  (8.4).

Для определения вида переходной характеристики h'(t) вместо времени t подставляется t=0. Если при этом h'(0)=0, то выбирается форма записи (8.3) или (8.4). При нулевом значении внешнего напряжения U(0)=0 в момент времени t=0 выбирается форма записи (8.1) или (8.2). В случае наличия скачка напряжения U(0)0 и скачка переходной характеристики h'(0) 0 в начальный момент времени.

Рекомендуется использовать форму записи (8.1) лил (8.2). Выбор форм записи зависит от сложности получаемых подинтегральных выражений.

2. Определяется выражение для искомой переменной путем подстановки найденного выражения переходной характеристики h'(t) и заданного внешнего напряжения в выбранную форму записи интеграла Дюамеля (8.1) – (8.4). Заданное внешнее напряжение разбивается на участки. Тогда искомый ток или напряжение определяются как сумма интегралов от каждого участка разбиения.

Допустим, что заданное внешнее напряжение изменяется по закону, представленному на рис.8.1, где U₁(t), U₂(t), U₃(t) Законы изменения напряжения на соответствующих участках.

Рисунок 8.1

Рассмотрим применение интеграла Дюамеля на примере этого графика. Заданный график изменения внешнего напряжения разобьем на следующие участки и запишем выражения для тока для каждого участка:

1.

(8.5)

2. ,

(8.6)

3. ,

(8.7)

4. ,

(8.8)

В выражениях (8.5)-(8.8) приняты следующие обозначения:

–производные от напряжения рассматриваемых участков по времени, в которых вместо времени t подставлена переменная ;

h' (t-) –переходная характеристика цепи при подстановке вместо t–(t-);

h' (t-t₁) , h' (t-t₂) –переходные характеристики цепи при подстановке вместо t–(t-t₁) и (t-t₂) соответственно.

8.3 Определение переходной характеристики цепи

Рассмотрим определение переходной характеристики входного тока для схемы, приведенной на рис. 8.2.

Рисунок 8.2

Определим выражение для мгновенного значения тока i1(t) при включении электрической цепи на источник постоянного напряжения. Воспользуемся операторным методом расчета.

Составим операторную схему замещения, которая приводится на рис.8.3.

Рисунок 8.3

Определим ток I1(p) по закону Ома.

. (8.9)

Для определения мгновенного значения тока i₁ (t) воспользуемся теоремой разложения.

, (8.10)

. (8.11)

Найдем корни числителя N(p)=0, p₁ = –R₂/L.

Определим корни знаменателя M(p)=0,

p₁=0, p₂= – R₁R₂/L(R₁+R₂).

Из сравнения корней числителя и знаменателя делается вывод, что у многочленов N(p) и M(p) нет равных корней, поэтому можно воспользоваться следующей формой записи теоремы разложения:

(8.12)

Найдем значения многочлена N(p) для каждого корня знаменателя:

, (8.13)

. (8.14)

Найдем производную от знаменателя :

.

Определим значение многочлена для корней знаменателя

, (8.15)

(8.16)

Найдем выражение для мгновенного значения тока i₁ (t) по формуле (8.11):

(8.17)

Переходная характеристика цепи для тока i₁ (t) численно равна переходному току i₁ (t) при включении цепи на источник постоянного напряжения равный одному вольту.

. (8.18)