7.4 Определение оригиналов

Если полученное операторное изображение тока и напряжения имеет табличный вид, то нахождение оригинала осуществляется с помощью таблицы 7.1. Если полученная функция не имеет табличного вида, то переход к оригиналу осуществляется при помощи теоремы разложения.

В этом случае полученную функцию I(p) или U(p) представляют в виде отношения двух многочленов.

. (7.11)

Определяются корни уравнения M(p)=0. В зависимости от вида корней знаменателя теорема разложения может иметь следующие формы:

1. Если корни уравнения M(p)=0 разные и среди них нет корней равным корням уравнения N(p)=0, то оригинал тока i(t), соответствующий изображению (7.11), может быть найден согласно теореме разложения:

, (7.12)

где m – число корней знаменателя M(p)=0.

2. Если в уравнении M(p)=0 имеется n различных корней p₁, p₂,… , p_n и из них корень p₁ кратностью m₁, корень p₂ кратностью m₂, то оригинал тока будет вычисляться по формуле:

. (7.13)

Здесь выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо сначала сократить на (p-p_k)^m_k и лишь после этого дифференцировать. Второй путь предполагает представление операторного изображения I(p) или U(p) в виде простых дробей. Переход к оригиналу для суммы простых дробей может быть осуществлен при помощи таблиц оригиналов и изображений.

3. Если среди n корней имеется пара комплексных сопряженных корней ; то теорема разложения может быть представлена в следующем виде:

. (7.14)

Найдем оригинал тока i_L(t) по его операторному изображению (7.10).

Зададимся параметрами цепи: R₁=10 Ом, L=0,1 Гн, C=100 мкФ, напряжение источника U=100 В. Принимаем i_L(-0) =5 А, U_c(-0) =50 В. Подставим численные данные в выражение (7.10) и преобразуем его, определив коэффициенты многочленов числителя и знаменателя.

. (7.15)

Определим корни многочленов числителя и знаменателя.

(7.16)

(7.17)

Сравнивая корни числителя и знаменателя можно сделать вывод, что среди них нет равных корней, поэтому применяется форма теоремы разложения (7.12):

.

Найдем значения многочлена числителя путем подстановки в N(p) корней знаменателя.

(7.18)

Возьмем производную от многочлена знаменателя .

.

Найдем значения производной M'(p) для корней знаменателя.

,

,

.

Определим оригинал тока i_L(t)

8 Методические указания по расчету переходных процессов

при помощи интеграла Дюамеля

8.1 Основные положения метода расчета переходных процессов

при помощи интеграла Дюамеля

При подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения или тока напряжение на любом ее участке или ток в любой ее ветви как функция времени называется переходной характеристикой цепи h'(t) по напряжению или току соответственно. При этом рассматриваются цепи с нулевыми начальными условиями.

Переходная характеристика цепи не зависит от формы и амплитуды, действующих в схеме источников ЭДС и тока, и определяется самой цепью и параметрами ее элементов.

Для определения переходной характеристики цепи можно пользоваться как классическим, так и операторным методом расчета переходных процессов. Интеграл Дюамеля применяется для расчета переходных процессов в линейных электрических цепях, когда напряжение внешнего источника изменяется во времени по сложному закону, при наличии скачков напряжения. В общем случае напряжение внешнего источника задается графически.

Существуют следующие формы записи интеграла Дюамеля:

, (8.1)

, (8.2)

, (8.3)

, (8.4)

где - производная от напряжения.

При выборе формы записи интеграла Дюамеля рекомендуется иметь в виду следующее: если внешнее напряжение не имеет скачка в момент времени t=0, т.е. U(0)=0, то следует применять выражения (8.1) или (8.2). в этом случае форма записи интеграла упрощается.

Если ток в ветви или напряжение на элементе цепи не изменяется скачком в момент времени t=0, то переходная характеристика цепи в этот момент времени h'(0)=0. В этом случае удобнее пользоваться формами записи (8.3) или (8.4), так как выражения для интеграла упрощаются.