5.4.3 Определение значений постоянных интегрирования

Рассмотрим определение значений постоянных интегрирования для схемы, приведенной на рис.5.3.

Рисунок 5.3

При решении характеристического уравнения, составленного для электрической цепи, приведенной на рис.5.3, получились корни 1 и 2 – вещественные и разные. Запишем выражение для свободной составляющей тока i1.

(5.36)

Вынужденная составляющая тока i₁ определяется следующим выражением:

Составим выражение для тока

(5.37)

В полученном уравнении (5.37), кроме неизвестного тока i₁, неизвестными являются постоянные интегрирования А₁, А₂. Для определения этих постоянных необходимо еще одно уравнение.

Продифференцируем уравнение (5.37):

(5.38)

Для определения значений постоянных А₁, А₂ составим систему из уравнений (5.37) и (5.38) и рассмотрим ее решение для момента времени

t = + 0:

,

. (5.39)

В системе уравнений (5.39), кроме постоянных интегрирования А₁ и А₂, неизвестными являются ток i₁₍₊₀₎ и его производная (di₁/dt)₍₊₀₎ в момент времени t=0. Для определения производной тока i₁ воспользуемся системой уравнений, составленной по законам Кирхгофа, рассмотрев ее для момента времени t=0:

(5.40)

В системе уравнений (5.40) неизвестными переменными являются

i₁₍₊₀₎ , i₂₍₊₀₎, i₃₍₊₀₎, u_c(+0) , (di₁/dt)₍₊₀₎ , поэтому необходимо дописать еще два уравнения, составленные по законам коммутации:

(5.41)

Для определения значений тока i_1(-0) катушки индуктивности и напряжения u_c(-0) конденсатора до коммутации запишем систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0:

(5.42)

Выразим ток i₃ конденсатора через напряжение на нем

(5.43)

Так как до коммутации цепь находилась в установившемся режиме, то будут равны нулю производные в системе уравнений (5.42). С учетом сделанных замечаний система уравнений (5.42) принимает вид:

(5.44)

Определим значения тока i_1(-0) и напряжения u_c(-0) из системы уравнений (5.44)

(5.45)

Найденные значения i_1(-0), u_c(-0) подставляются в уравнение (5.41) и рассматриваются совместно уравнения (5.40) и (5.41).

После математических преобразований определяется значение производной от первого тока времени t=0

(5.46)

Найденное значение i₁₍₊₀₎ и (di₁ /dt )₍₊₀₎ подставляются в систему уравнений (5.39).

(5.47)

После математических преобразований находятся значения постоянных интегрирования А₁ и А₂.

. (5.48)

+ . (5.49)