Вариант 9
Задание 1.
Найти производные данных функций.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
Задание 2.
Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).
а)
у
= x
;
б)
x = t + ln cos t; y = t – ln sin t.
Задание 3.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,13, с точностью до 0,001.
Задание 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f
(x)
=
.
Задание 5.
Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом 6, 28 м3. Каким должны быть его радиус и высота, чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество листовой стали?
Задание 6.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
.
Задание 7.
Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t0.
Задание 8.
Дана функция z = f (x; y). Показать, что:
F .
z
=
F
=
Задание 9.
Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x0; y0; z0).
z = 2xy + 3y2 – 5x; A (3; 4); B (3,05; 3,95).
Задание 10.
Дана функция z = f (x; y), точка А (x0; y0) и вектор (а1; а2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
z = 3x4 + 2x2y2 ; A (-1; 3); a (4; -3).
Задание 11.
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а)
б)
;
в)
г)
Задание 12.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 14.
Вычислить длину кардиоиды r = 3 (1 – cos ).
Задание 15.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).
(х2 + у2)2 = а2 (2х2+3у2).
Задание 16.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.
z = 0, z = 1 – х2, у = 0, у = 3 – х.
Задание 17.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль дуги t параболы у = 2х2 от точки О (0; 0) до точки А (1; 2). Сделать чертеж.
Вариант 10
Задание 1.
Найти производные данных функций.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
.Задание 2.
Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).
а)
у = xe-x
;
б) x
= ln
t;
y
=
.
Задание 3.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,59, с точностью до 0,001.
Задание 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f
(x)
=
Задание 5.
Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно р1 руб., а стенок р2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материалы для его изготовления были наименьшими?
Задание 6.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
.
Задание 7.
Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t0.
Задание 8.
Дана функция z = f (x; y). Показать, что:
F .
z
=
F
=
Задание 9.
Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x0; y0; z0).
z =xy + 2y2 – 5x; A (1; 2); B (0,97; 2,03).
Задание 10.
Дана функция z = f (x; y), точка А (x0; y0) и вектор (а1; а2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
z = 3x2y2 + 5xy2 ; A (-1; 1); a (2; 1).
Задание 11.
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а)
б)
;
в)
г)
Задание 12.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 14.
Вычислить длину одной арки циклоиды x = 3 (t – sin t); y = 3 (1- cos t); ( ).
Задание 15.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).
у6 = а2 (х2 + у2)(3у2 – х2).
Задание 16.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.
z
= 0, z
= 4
,
x
= 0, х + у = 4.
Задание 17.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль дуги 1 кривой у = ln x от точки А (1; 0) до точки В (е; 1). Сделать чертеж.