Вариант 27

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д) .

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) б) .

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,39, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f(x)=2x³-6x; [-1;2].

Задание 5.

Найти на оси Ох точку, сумма квадратов расстояний которой от точек (2;4) и (8;2) имеет наименьшее значение.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

Задание 7.

Показать, что векторы и перпендикулярны.

Задание 8.

Найти полную производную сложной функции:

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = 2x² + 2y² + 10x + 8y; A (6; 4); B (6,05; 3,98).

Задание 10.

Дана функция u = f (x; y; z), точка А (x₀; y₀; z₀) и вектор (а₁; а₂; a₃). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

u = ; А (x₀; y₀; z₀); a =6i+3j-6k.

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл: или установить его расходимость.

Задание 14.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание 15.

Переходя к полярным координатам, вычислить:

Задание 16.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость Хоу.

Задание 17.

Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл: где - пробегаемый в положительном направлении (против движения часовой стрелки) контур треугольника с вершинами в точках: Сделать чертеж.

Вариант 28

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) б) .

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,81, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f(x)=-5x³+6x²+8; [-2;2].

Задание 5.

Найти наибольшую площадь прямоугольника, имеющего периметр 48 см.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

Задание 7.

Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением в точке t = /2.

Задание 8.

Найти частные производные сложной функции:

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = 2x² + 4xy + 6y² ; A (4; 2); B (3,96; 2,04).

Задание 10.

Дана функция u = f (x; y; z), точки А (x₀; y₀; z₀) и А₁(х₁; y₁; z₁). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

u = ; A (1; 1; 1); А₁ (3; 2; 3).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл: или установить его расходимость.

Задание 14.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

Задание 15.

Переходя к полярным координатам, вычислить:

Задание 16.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость Хоу.

Задание 17.

Пользуясь формулой Грина вычислить криволинейный интеграл: где - пробегаемый в положительном направлении (против движения часовой стрелки) контур треугольника с вершинами в точках: Сделать чертеж.