Вариант 20

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а) ;

б)

в)

г) ;

д) .

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = 1/4x² (2ln x – 3); б) x = cos² t; y = 3 sin t.

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,81, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) =

Задание 5.

По двум улицам движутся к перекрестку две автомашины с постоянными скоростями u₁ и u₂ . Считая, что улицы пересекаются под прямым углом, и зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстояниях a₁ и а₂ , определить, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б)

Задание 7.

Составить уравнения касательной и нормальной плоскости кривой в точке

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = 6x² - 2xy +2x + 2y; A (2; 6); B (2,06; 5,92).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = 6x²у² +10xy² ; A (2; 2); a (4; 2).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) ; в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Задание 14.

Вычислить длину дуги логарифмической спирали от до .

Задание 15.

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).

(х² + у²)⁷ = а⁸ х⁴ у².

Задание 16.

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.

х = 0, у = 0, z = 0, x = 4, у = 4, z = х² + у² + 1.

Задание 17.

Вычислить криволинейный интеграл

где е – дуга кривой, заданной параметрически x = t cos t, y = t sin t, z = t., ( ).