Вариант 15
Задание 1.
Найти производные данных функций.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
;
.Задание 2.
Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).
а)
у = arctg
;
б) x
= 2 cos3
t;
y
= 2 sin3
t.
Задание 3.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,99, с точностью до 0,001.
Задание 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f
(x)
=
Задание 5.
Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна l.
Задание 6.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
Задание 7.
Составить
уравнения касательной и плоскости к
кривой
в точке
.
Задание 8.
Дана функция z = f (x; y). Показать, что:
F .
z
=
F
=
Задание 9.
Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x0; y0; z0).
z = 3xy + 4y2 – 6x; A (4; 5); B (4,04; 4,95).
Задание 10.
Дана функция z = f (x; y), точка А (x0; y0) и вектор (а1; а2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
z
=
;
A
(3; 4); a
(-3; 4).
Задание 11.
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а)
б)
;
в)
г)
Задание 12.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 14.
Вычислить
объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу фигуры, ограниченной
полуэллипсом 2у = 3
и
параболой 4у = 4 – х2.
Задание 15.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).
(х2 + у2)5 = а6 ху3.
Задание 16.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.
х = 0, у = 0, z = 0, x + у = 1, z = x2 + 3y2.
Задание 17.
Вычислить криволинейный интеграл
где С есть окружность x = R cos t, y = R sin t, пробегаемая по ходу часовой стрелки.
Вариант 16
Задание 1.
Найти производные данных функций.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
;
Задание 2.
Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).
а) у = ln (2x-3); б) x (t) = 3(t – sin t); y = 3(1 – cos t).
Задание 3.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,61, с точностью до 0,001.
Задание 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f
(x)
=
Задание 5.
Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S.
Задание 6.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
Задание 7.
Составить
уравнения касательной и нормальной
плоскости к винтовой линии
в точке
Задание 8.
Дана функция z = f (x; y). Показать, что:
F .
z
=
F
=
Задание 9.
Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x0; y0; z0).
z = 2x2 + 2y2 + 10x + 8y; A (6; 4); B (6,05; 3,98).
Задание 10.
Дана функция z = f (x; y), точка А (x0; y0) и вектор (а1; а2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
z
=
;
A
(1; -2); a
(1; 2).
Задание 11.
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а)
б)
;
в)
г)
Задание 12.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 14.
Вычислить длину дуги полукубической параболы у = х3/2 от х = 0 до х = 5.
Задание 15.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).
(х2 + у2)5 = а4 х4 у2.
Задание 16.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.
х
= 0, у = 0, z
= 0, x
= 1, х + у = 2, z
= x2
+
y2.
Задание 17.
Вычислить криволинейный интеграл
по любому пути, соединяющему точки (0; 0) и (3; 4).