Вариант 17
Задание 1.
Найти производные данных функций.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
;
.Задание 2.
Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).
а)
у = x
sin
x;
б) x
= t2
– 2 t;
y
=
.
Задание 3.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,29, с точностью до 0,001.
Задание 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f
(x)
=
Задание 5.
Определить максимальную площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна l.
Задание 6.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
Задание 7.
Составить
уравнение касательной и нормальной
плоскости к кривой
в
точке
.
Задание 8.
Дана функция z = f (x; y). Показать, что:
F .
z
=
F
=
Задание 9.
Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x0; y0; z0).
z = x2 - y2 –3xy; A (-2; 3); B (-1,98; 2,97).
Задание 10.
Дана функция z = f (x; y), точка А (x0; y0) и вектор (а1; а2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
z = x2у +xy2 ; A (1; 1); a (6; -8).
Задание 11.
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а)
б)
;
в)
г)
Задание 12.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 14.
Вычислить длину кривой 2у = ех + е-х от х = 0 до х = ln3.
Задание 15.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).
(х2 + у2)3 = а4 у2.
Задание 16.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.
х = 0, у = 0, z = 0, у + z = 1, x = y2 + 1.
Задание 17.
Вычислить криволинейный интеграл
где С есть окружность x = R cos t, y = R sin t, пробегаемая против хода часовой стрелки.
Вариант 18
Задание 1.
Найти производные данных функций.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
.Задание 2.
Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).
а)
у = x
;
б) x
= e2t;
y
=
.
Задание 3.
Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = ex, вычислить значение ea при а = 0,69, с точностью до 0,001.
Задание 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f
(x)
=
Задание 5.
Определить наименьшую площадь равнобедренного треугольника описанного вокруг окружности радиуса r.
Задание 6.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
Задание 7.
Составить
уравнения касательной и нормальной
плоскости кривой
в точке
.
Задание 8.
Дана функция z = f (x; y). Показать, что:
F .
z
=
F
=
Задание 9.
Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x0; y0) и В (x1; y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x0; y0; z0).
z = 2x2 + 4xy + 6y2 ; A (4; 2); B (3,96; 2,04).
Задание 10.
Дана функция z = f (x; y), точка А (x0; y0) и вектор (а1; а2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .
z = ln (2x +3y); A (2; 2); a (-3; 2).
Задание 11.
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а)
б)
;
в)
г)
Задание 12.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 14.
Вычислить длину дуги кривой
от
t
= 0 до t
=
.
Задание 15.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).
(х2 + у2)3 = а4 х2.
Задание 16.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.
z
= 0, z
=
,
у = x2.
Задание 17.
Вычислить криволинейный интеграл
по любому пути, соединяющему точки (1; 2) и (3; 6).