§ 252. Символический метод

Для вычисления колебаний тока и напряжения в различных сетях пере­менного тока особенно удобно пользоваться так называемым символиче­ским методом, в котором гармонические колебания разных физических ве­личин представляют в виде комплексных чисел. Этот метод значительно упрощает все вычисления и поэтому его широко применяют не только в теории переменных токов, но и при исследовании любых механических и электрических колебаний.

Известно, что

Здесь  — вещественное число, а j=-1. Поэтому всякое комплексное число

z=x+jy можно представить в показательной форме:

z=е^j.

При этом вещественную и мнимую части х и у комплексного числа z можно выразить через  и :

x=cos, y=sin,

и, наоборот,  и  можно выразить через х и у:

Напомним, что  называется модулем комплексного числа z, a  — его аргументом.

Положим теперь, что а изменяется со временем по закону

=t+. Тогда х и у будут представлять два гармонических колебания:

(252.1)

происходящих с угловой частотой  и имеющих амплитуду  и начальную фазу . Согласно сказанному выше оба эти колебания можно выразить при помощи одного комплексного выражения:

(252.2)

Если мы условимся заранее брать только вещественную часть комплексного выражения (252.2), то мы получим первое из колебаний (252.1); если же мы будем употреблять только мнимую его часть, то получим второе колебание. Таким образом, гармонические колебания можно описывать либо с по­мощью тригонометрических функций cos и sin, либо с помощью комплекс­ных выражений. Последний способ имеет, однако, крупное преимущество в тех случаях, когда приходится складывать несколько колебаний, так как правила сложения комплексных чисел гораздо проще, нежели правила сло­жения тригонометрических функций.

568

Если частота  одинакова для всех рассматриваемых колебаний, то мно­житель e^jt можно не выписывать. В этих случаях мы вполне определим гармоническое колебание, если зададим лишь величину

(252.3)

которая называется комплексной амплитудой. Ее модуль  дает фактиче­скую амплитуду гармонического колебания, а аргумент  — начальную фазу колебания.

Представление колебаний с помощью комплексных выражений тесно связано с векторными диаграммами. Действительно, если на плоскости (рис. 490) ввести две взаимно перпендикулярные оси и по одной из них (X)

откладывать вещественную часть х комплекс­ного числа z, а по другой (jY) — мнимую часть jy, то число z будет изображаться на этой плоскости некоторым вектором. Длина этого вектора =(х²+у²) есть модуль комплексного числа z, а угол =arctgy/x, составленный с вещественной осью X, равен аргументу z. Поэтому, задавая комплексную амплитуду колебания s (формула (252.3)), мы определяем вектор, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол поворота — на­чальной фазе, т. е. поступаем так же, как и при построении векторной диаграммы коле­баний. Различие заключается лишь в том, что

в случае векторной диаграммы мы изображаем этот вектор графически,

а пользуясь комплексным выражением, задаем его аналитически.

Вернемся теперь к переменным токам и положим, что сила тока в цепи

равна i=i_osint. Пользуясь комплексными величинами, это колебание можно

записать в виде:

Тогда колебания напряжения на чисто активном сопротивлении (§ 242) будут выражаться формулой:

Комплексная амплитуда в данном частном случае оказывается вещественной:

(252.4)

что, согласно сказанному выше, обозначает отсутствие сдвига фаз между напряжением и током.

Колебания напряжения на индуктивности (§ 244) опережают по фазе колебания тока на я/2, и поэтому

Комплексная амплитуда этих колебаний

Входящий сюда множитель е^j/2 изображается на комплексной плоскости (рис. 490) вектором, имеющим длину 1 и направленным вдоль мнимой оси jY.

Поэтому е^j/2=j, а следовательно,

(252.5)

Рис. 490. Изображение ком­плексного числа при помощи вектора.

569

Наконец, для колебаний напряжения на конденсаторе, которые отстают от колебаний тока на /2 (§ 243), получается:

Комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе

или, так как e^-j/2=-j=1/j,

(252.6)

Рассмотрим теперь, как можно производить сложение колебаний, поль­зуясь комплексными выражениями. При этом мы везде предполагаем, что речь идет о колебаниях скалярных величин (каковыми являются сила тока, заряд конденсатора, напряжение и т. д.).

Суммой комплексных чисел

по определению, называют комплексное число

Z=X+jY,

у которого вещественная и мнимая части X и Y суть суммы соответственно вещественных и мнимых частей слагаемых:

Если z₁, z₂ и т. д. суть комплексные выражения гармонических колеба­ний, то величины x₁, х₂, х₃,... и соответственно y₁,у₂, у₃, ... представляют собой гармонические колебания (одно из которых описывается функцией cos, а другое — sin). Поэтому комплексное выражение Z будет соответствовать сумме складываемых колебаний. Если попрежнему все колебания имеют одинаковую частоту , то и здесь общий множитель e^jt можно не выпи­сывать, а достаточно сложить лишь комплексные амплитуды суммируемых колебаний.

Таким образом, мы приходим к следующему правилу: для сложения нескольких колебаний одинаковой частоты достаточно сложить ком­плексные амплитуды этих колебаний. Модуль полученного комплексного выражения дает фактическую амплитуду результирующего колебания, а его аргумент — начальную фазу.

Отметим, что на комплексной плоскости (X, jY) сложение комплексных чисел изображается суммированием векторов, представляющих эти комплекс­ные числа, а комплексное число Z, выражающее искомую сумму, является замыкающим вектором (векторной суммой). Поэтому данное выше правило в точности соответствует построению векторной диаграммы результирую­щего колебания.

Поясним сказанное на примере. Рассмотрим опять цепь, содержащую последовательно соединенные сопротивление, индуктивность и емкость, и найдем напряжение на концах этой цепи. Оно представляет собой сумму

570

трех напряжений, комплексные амплитуды которых выражаются формулами (252.4) — (252.6); Поэтому комплексная амплитуда полного напряжения есть

Отсюда получаем выражения для фактической амплитуды напряжения(модуль) и для начальной фазы напряжения (аргумент):

это совпадает с формулами (245.3) — (245.4).