§ 249. Разветвление переменных токов

Выше (§§ 245—246) мы рассматривали цепь, в которой актив­ные и реактивные сопротивления были соединены последовательно. Посмотрим теперь, каким образом можно найти соотношение между напряжением и током в цепи, состоящей из ветвей, соединенных параллельно, в которой, следовательно, происходит разветвление переменного тока.

Пусть цепь состоит из двух ветвей (рис. 482), одна из которых содержит конденсатор емкости С, а другая — катушку индуктив­ности L. Так как проволоч­ные катушки всегда обла­дают некоторым сопротив­лением, то в этой последней ветви мы будем еще учи­тывать наличие активного сопротивления r. К концам цепи а и б приложено пере­менное напряжение, изме­няющееся по закону:

U=U₀sint. (249.1)

Требуется определить ко­лебания силы полного тока в цепи (т. е. тока, обнаруживаемого амперметром А₁ включенным в подводящие провода).

В случае простой неразветвленной цепи общей для всех эле­ментов цепи (L, С, r) была сила тока и задача сводилась к сло­жению колебаний напряжения на индуктивности, емкости и сопро­тивлении. Для этой цепи мы пользовались векторными диаграммами напряжения. В рассматриваемом случае, напротив, общим является напряжение между точками а и б, а сила тока в ветвях i_C и i_L различна. Полная сила тока

i=i_L+i_C, (249.2)

поэтому задача сводится к сложению колебаний тока. Желая и здесь пользоваться методом векторных диаграмм, мы должны будем строить векторные диаграммы токов.

Пусть колебания напряжения между точками а и б изобра­жаются вектором, направленным вдоль линии U (рис. 483, «ось

Рис. 482. Разветвление переменных токов.

561

напряжений»). Тогда колебания тока в катушке индуктивности изобра­зятся вектором i_L0. Его длина (амплитуда тока) согласно формуле (245.3), в которой нужно положить С=, равна

(249.3)

Этот вектор повернут относительно оси напряжений на угол _L в отрицательном направлении (так как ток в катушке отстает по фазе от напряжения), причем (см. (245.4))

(249.4)

Колебания тока в конденсаторе изобра­жаются вектором i_C0, повернутым относитель­но оси напряжений на угол +/2; его длина (амплитуда тока) равна (см. (245.3), L=r=0)

(249.5)

Колебания полного тока определяются век­торной суммой обоих этих векторов, т. е. вектором i₀. Его длина есть амплитуда полного тока, а угол , образованный с осью напря­жений,— угол, на который колебания тока опережают по фазе колебания напряжения. Таким образом, колебания полного тока выражаются формулой:

(249.6)

Так как длины векторов i_L0 и i_C0 и угол  определены формулами (249.3) — (249.5), то из треугольника рис. 483 можно найти i₀ и , а следовательно, определить и колебания полного тока в цепи.

Рис. 483. Векторная диаграмма токов для

цепи рис. 482.

§ 250. Резонанс токов

Если в цепи, изображенной на рис. 482, изменять L и С или частоту генератора со, то изменяются и амплитуда полного тока, и сдвиг фаз  между током и напряжением. При некотором соотно­шении между L, С и  сдвиг фаз  становится равным нулю и, следовательно, контур ведет себя как чисто активное сопротивле­ние. Этот частный случай вынужденных колебаний в разветвленной цепи называется резонансом токов. Векторная диаграмма токов, соответствующая резонансу, показана на рис. 484.

Обычно в катушках индуктивности мы имеем L>>r, и угол _L очень близок к —/2. Так как ток i_C в другой ветви опережает напряжение на угол +/2, то оба тока i_L и i_C обладают разностью

562

фаз, близкой к , т. е. находятся в противофазах. Поэтому пол­ный ток i равен приблизительно разности токов i_L и i_С. При резо­нансе полный ток становится наименьшим (ср. рис. 483 и 484), а следовательно, сопротивление контура достигает наибольшего зна­чения. Это сопротивление, однако, в отличие от резонанса напря­жений (§ 246) не равно активному сопротивлению r, включенному в контур, а зависит еще от L и С (см. ниже).

Если бы сопротивление r было равно нулю, то разность фаз между токами i_L и i_C была бы точно равна  и оба эти тока при резонансе точно компенсировали бы друг друга. В этом случае ток в подводящих проводах был бы равен нулю, хотя каждый из то­ков i_L и i_C мог бы иметь весьма большие зна­чения. Сопротивление же контура при резонансе было бы равно бесконечности.

Для наблюдения резонанса токов можно вос­пользоваться схемой, изображенной на рис. 482, если включить в нее, помимо амперметра А₁, измеряющего полный ток, еще амперметры А₂ и A₃ в каждую из ветвей. Источником перемен­ного напряжения может служить осветительная сеть переменного тока. В качестве индуктивности удобно взять дроссель с подвижным железным сердечником, причем величина максимальной индуктивности дросселя должна быть больше той, которая необходима для резонанса. Тогда можно наблюдать следующее. Вначале ток i_L (показания амперметра А₃) значительно меньше тока i_C (показаний A₂) и амперметр А₁ указывает на существование полного тока i заметной силы (это соответствует рис. 483). При уменьшении индуктивности дросселя ток i_L уве­личивается (ток i_C остается попрежнему постоянным), а полный ток i, равный приблизительно разности i_C-i_L, при этом умень­шается. При некотором значении индуктивности ток i становится наименьшим (резонанс). При этом амперметры А₂ и A₃ дают мало отличающиеся показания, которые намного больше показаний ампер­метра A₁. Это показывает, что оба тока i_C и i_L почти противопо­ложны по фазам. При дальнейшем уменьшении индуктивности ток i_L становится больше тока i_С и полный ток i начинает снова увели­чиваться.

Найдем условие, при котором наступает резонанс токов. Из рис. 484 видно, что при резонансе

(250.1) Но из (249.4) следует, что

Рис. 484. Вектор­ная диаграмма ре­зонанса токов.

563

Амплитуды же токов i_L0 и i_C0 имеют значения:

Подставляя эти выражения в (250.1) и считая, что ²L²>>r², находим усло­вие резонанса токов:

(250.2)

Таким образом, для резонанса токов, так же как и для резонанса напряже­ний, частота колебаний  внешнего напряжения должна совпадать с частотой ₀ собственных колебаний контура в отсутствии затухания. Вычислим теперь амплитуду i₀ полного тока при резонансе. Из рис. 484 следует:

(250.3)

В том же приближении, что и выше (²L²>>r²), мы имеем:

Поэтому при резонансе

(250.4)

Если r0, то R. Этот результат уже получен выше с помощью качественных рассуждений.

Отношение резонансного сопротивления R контура к его активному сопротивлению r равно квадрату добротности Q контура (ср. выражение для добротности в § 246):

Так как на радиочастотах можно легко добиться добротности порядка 10²,

то отношение R/r может быть сделано порядка 10⁴ и выше.

Таким образом, для переменного тока с частотой ₀ (точнее, для узкой полосы частот вблизи ₀, тем более узкой, чем выше добротность контура) колебательный контур представляет собой большое сопротивление, в то время как для всех других частот его сопротивление мало. Это позволяет использовать резонанс токов для выделения одного определенного колебания из сигнала слож­ной формы, чем и пользуются широко на практике. В качестве примера укажем на устройство резонансного усилителя, одна из схем которого (в упрощенном виде) показана на рис. 485. В анод­ной цепи имеется колебательный контур, настраиваемый на частоту сигнала, который желают усилить. Для резонансной частоты контур представляет собой большое сопротивление и колебания анодного тока лампы вызывают на его концах появление переменного напря­жения. Для этой частоты (точнее, для узкой полосы частот) резо­нансный усилитель действует таким же образом, как и усилитель

564

на сопротивлениях, рассмотренный в § 175, причем роль анодного сопротивления играет колебательный контур. Для всех же других частот, заметно отличающихся от резонансной, контур представляет собой практически короткое замыкание анодной цепи и поэтому усиление напряжения получается близким к нулю.

Как уже разъяснялось, при резонансе токов сила токов в обеих ветвях контура может быть сделана намного больше силы тока

Рис. 485. Резонансный усилитель.

Рис. 486. Схема нагре­вающего контура индук­ционной печи.

в подводящих проводах. Это обстоятельство используют при устрой­стве индукционных печей, в которых нагревание металлов произво­дится вихревыми токами (§ 147). А именно, параллельно нагревающей катушке К (рис. 486) присоединяют конденсатор С и подбирают его емкость таким образом, чтобы получить на частоте питающего генератора резонанс токов. Тогда через генератор и подводящие провода протекает только разностный ток ii_K-i_C, который может быть в десятки раз меньше тока i_K в нагревательной ка­тушке.