§ 247. Установление колебаний

Вынужденные колебания устанавливаются не сразу, а лишь по прошествии некоторого времени после включения внешней э. д. с. Выясним подробнее, в чем заключается процесс установления коле­баний.

Положим, что э. д. с. генератора изменяется попрежнему по закону

ξ=ξ₀sint,

554

и будем следить за колебаниями заряда конденсатора q. Вынуж­денные колебания заряда, как мы знаем, имеют вид;

где амплитуда С и начальная фаза  зависят от параметров контура (емкости, индуктивности и сопротивления).

Однако при замыкании цепи в ней возникнут еще и собственные колебания, отчего на конденсаторе появится дополнительный заряд, который согласно формуле (234.2) будет изменяться по закону:

Здесь а есть коэффициент затухания контура, a ₁=(²-²)— собственная частота колебаний контура. (В этой формуле вместо cos (как в § 234) мы пишем sin, что, однако, не играет никакой роли, так как начальная фаза  нами пока еще не определена.) Поэтому в первые моменты времени после замыкания цепи будут возбуж­даться колебания сложной формы, представляющие собой сумму собственных и вынужденных колебаний, происходящих с различ­ными частотами  и ₁.

С течением времени собственные колебания будут затухать, и когда они практически прекратятся вовсе, мы получим установив­шиеся вынужденные колебания. Таким образом, время установления колебаний есть время, в течение которого затухают собственные колебания контура. Оно тем больше, чем меньше коэффициент затухания .

Остановимся теперь специально на случае резонанса, когда частота генератора =₀. Будем считать, что затухание контура невелико, так что можно положить частоту собственных колебаний ₁₀. Тогда колебания заряда будут иметь вид:

(247.1)

В этой формуле амплитуда собственных колебаний А и начальная фаза  зависят от начальных условий процесса (ср. § 234). Положим, что мы за­мыкаем цепь в момент времени t=0, причем до замыкания заряда на кон­денсаторе не было. Тогда начальные условия будут:

(247.2)

Подставляя (241.1) в первое из начальных условий, имеем:

(247.3)

Второе начальное условие дает:

Если, как было предположено выше, <<₀, то первым членом в этом

555

(247.1)

(247.2)

(247.3)

уравнении можно пренебречь по сравнению со вторым членом, и по­этому

(247.4)

Уравнения (247.3) и (247.4) дают:

Подставляя найденные значения А и  в (247.1), находим закон изменения заряда конденсатора после замыкания цепи в следующем виде:

(247.5)

Эта зависимость изображена графически на рис. 480. При резонансе в кон­туре возникают колебания с возрастающей амплитудой, которая асимпто-

Рис. 480. Установление колебаний при резонансе.

тически приближается к установившемуся значению. Время, в течение которого практически достигается это установившееся значение, тем боль­ше, чем меньше затухание контура а. Аналогичные кривые мы получили бы, рассматривая напряжение на конденсаторе и на индуктивности или силу тока в контуре.

В § 246 мы видели, что при резонансе напряжений амплитуда установившихся колебаний тока равна i₀=ξ₀/r. Отсюда получается, что если ак­тивное сопротивление цепи r 0, то i₀. Физический смысл этого на первый взгляд странного результата заключается в следующем. Когда соп­ротивление контура неограниченно уменьшается, то и затухание контура стремится к нулю, а следовательно, время установления колебаний неогра­ниченно увеличивается. Поэтому в действительности в контуре будут коле­бания конечной амплитуды, которая, однако, будет непрерывно возрастать в процессе колебаний.

556