§ 253. Комплексные сопротивления

Применение комплексных величин для расчетов цепей переменного тока можно еще значительно упростить, если ввести понятие о комплексном сопротивлении. Пусть i₀ есть амплитуда силы тока в каком-либо участке цепи, а u₀ — комплексная амплитуда напряжения. Тогда комплексное сопро­тивление г этого участка определяется соотношением:

u₀=zi₀. (253.1)

Таким образом, комплексное сопротивление участка есть отношение ком­плексной амплитуды напряжения к амплитуде силы тока.

Если мы умножим обе части формулы (253.1) на e^jt, то слева мы по­лучим мгновенное значение напряжения u=u₀e^jt, справа же вместо i₀ войдет i=i₀e^jt, т. е. мгновенная сила тока. Поэтому для мгновенных зна­чений напряжения и тока справедлива формула, аналогичная (253.1):

u=zi. (253.2)

Найдем, чему равны комплексные сопротивления в различных частных случаях. Пусть участок цепи имеет только активное сопротивление r. Тогда, если амплитуда тока есть i₀, то амплитуда напряжения согласно (252.4) равна u_r0 = i₀r, а следовательно,

z_r=r. (253.3)

В этом частном случае комплексное сопротивление не имеет вовсе мнимой части и равно активному сопротивлению участка.

Если участок цепи содержит только индуктивность I, то согласно (252.5) u_L0=i₀jL, поэтому

z_L=jL. (253.4)

Совершенно так же находим, что в случае конденсатора (формула (252.6)) комплексное сопротивление равно

(253.5)

Представим себе теперь, что мы имеем какую-нибудь цепь переменного тока, которая может быть сколь угодно сложной. Так как мы рассматриваем только квазистационарные токи, то для мгновенных значений электрических величин справедливы те же законы Кирхгофа, что и для постоянных токов.

571

Поэтому для любого замкнутого контура (например, контура 1—2—3—4—5, рис. 491) мы имеем (второй закон Кирхгофа):

где e_0k— комплексные амплитуды э. д. с. генераторов. Сокращая обе части на е^jt, получим соответствующее уравнение для амплитуд:

(253.6)

Точно так же для любой точки разветвления цепи справедлив первый закон Кирхгофа, который после сокращения на общий множитель e^jt имеет вид:

(253.7)

Таким образом, мы видим, что законы постоянного тока применимы не к обычным фактическим амплитудам тока, напряжения и э. д. с, но к ком­плексным амплитудам этих величин, при­чем под сопротивлениями отдельных участ­ков цепи нужно понимать их комплексные сопротивления. Поэтому решение задачи о любой цепи переменного тока можно получить из соответствующего решения для постоянного тока, если силу тока, на­пряжение и э. д. с. заменить их комплекс­ными амплитудами, а сопротивление участ­ков— их комплексными сопротивлениями.

Отсюда, в частности, получается сле­дующее простое правило для вычисления сопротивления цепей: чтобы найти сопро­тивление цепи для переменного тока, нужно в этой цепи мысленно заменить каждую индуктивность L на ее комплекс­ное сопротивление jL, каждую емкость С

— на 1/iL, а все активные сопротивления оставить без изменений. Затем

с указанными комплексными сопротивлениями нужно произвести те же операции, что и при вычислении сопротивления для постоянного тока, складывая при последовательном соединении сопротивления, а при парал­лельном — им обратные величины (проводимости). Полученная в резуль­тате этого комплексная величина Z=X+jY и будет представлять собой полное комплексное сопротивление цепи. Эта величина получила на­звание импеданса цепи. Ее вещественная часть X есть активное сопротивле­ние цепи, а мнимая часть Y — реактивное сопротивление. Модуль импеданса R=(Х²+Y²) дает величину полного сопротивления цепи для переменного тока и определяет амплитуду силы тока при заданной амплитуде напряже­ния на концах цепи:

Аргумент импеданса дает угол , на который напряжение опережает ток в цепи:

Рис. 491. Разветвленная цепь переменного тока.

572

Рассмотренный метод комплексных сопротивлений весьма удобен для практических расчетов и поэтому широко применяется в электротехнике. Он исключительно прост и не требует вычисления сдвигов фаз (что необ­ходимо при построении векторных диаграмм), так что они уже учтены в комплексных сопротивлениях. По сравнению с векторными диаграммами этот метод обладает еще и тем преимуществом, что позволяет вести рас­четы с какой угодно точностью, в то время как векторные диаграммы, как

и всякий графический метод, отличаются боль­шей наглядностью, но не обеспечивают точности. Для иллюстрации метода комплексных со­противлений рассмотрим некоторые простейшие примеры.

Пример 1. Цепь содержит последовательно соединенные активное сопротивление r и индук­тивность L (рис. 492, а).

Так как при последовательном соединении складываются сопротивления, то импеданс цепи есть

Поэтому полное сопротивление цепи

а напряжение опережает ток по фазе на угол

Пример 2. Цепь состоит из конденсатора с емкостью С, параллельно которому присоединено активное сопротивление r (конденсатор с утечкой, рис. 492, б).

При параллельном соединении складываются проводимости участков. Поэтому если Z есть импеданс цепи, то

Отсюда

Чтобы привести это выражение к виду Z=X+jY, умножим и разделим правую часть на ((1/r)-jC)). Тогда

Полное сопротивление цепи

Рис. 492. Примеры про­стых цепей.

573

а угол , на который напряжение опережает ток, есть

В данном случае угол  оказывается отрицательным, а значит, напряжение отстает по фазе от тока (как и должно быть при емкостном характере цепи),

Пример 3. Цепь, которую мы рассматривали при изучении резонанса токов (рис. 492, в).

В этом случае мы должны найти сначала сопротивление Z₁ ветви, со­держащей индуктивность. Так как r и L соединены здесь последовательно (пример 1), то

Обе же ветви цепи соединены между собой параллельно. Поэтому для им­педанса Z всей цепи имеем:

Выражая отсюда Z и уничтожая мнимость в знаменателе, находим после несложных преобразований:

Найдем условие, при котором мнимая часть импеданса (реактивное сопро­тивление) обращается в нуль. Этот случай вынужденных колебаний, как мы знаем (§ 250), называется резонансом токов. Условие этого есть

Считая, как и раньше, ²L² >>r², находим, что резонанс токов наступит при частоте ₀, равной

Подставляя это значение в выражение для Z и учитывая, что (1-²₀LC)=0, получаем резонансное сопротивление контура:

Эти результаты мы уже получили раньше (§ 250) другим способом.

Пример 4. Для измерения емкости конденсаторов употребляют мосто­вую схему, работающую на переменном токе (рис. 493). Она подобна схеме моста на постоянном токе, но отличается от нее тем, что в два плеча схемы включены конденсаторы вместо сопротивлений. К двум противоположным точкам схемы (например, к а и б, рис. 493) присоединен миниатюрный гене­ратор переменной э. д. с. (зуммер), а к двум другим (в и г) — индикатор пере­менного тока (например, телефон Т). Процесс измерения заключается в том, что, меняя величину сопротивлений двух других плеч r₃ и r₄, добиваются такого положения, чтобы между точками в и г колебания напряжения были равны нулю (равновесие моста), т. е. в телефоне не было слышно звука. Найдем условие равновесия моста.

574

Если бы мы имели ток постоянный, а вместо конденсаторов C₁и С₂ были включены сопротивления r₁ и r₂, то при равновесии мы имели бы:

В случае переменного тока, как мы знаем, нужно пользоваться комплекс­ными сопротивлениями, т. е. заменить r₁ на 1/jC₁, а r₂ — на 1/jC₂. Поэтому

условие равновесия моста на переменном токе есть

Измеряя на опыте отношение r₃/r₄, необходимое для равновесия моста, и зная емкость одного из конденсаторов, отсюда можно определить неизве­стную емкость другого конденсатора.

Отметим, что при расчетах мы предполагали, что активные сопротивле­ния плеч моста, содержащих конденсаторы, малы по сравнению с емкост­ными сопротивлениями, что обычно и имеет место на практике.

Рис. 493. Мост для измере­ния емкостей.

Рис. 494. Мост для изме­рения индуктивностей.

Пример 5. При помощи схемы моста на переменном токе можно из­мерять не только емкости, но и индуктивности. Однако, так как катушки индуктивности обычно обладают заметным сопротивлением, то здесь уже нельзя пренебрегать активным сопротивлением плеч моста, содержащих ка­тушки, по сравнению с их индуктивным сопротивлением.

Схема моста для измерения индуктивностей изображена на рис. 494. Она содержит четыре переменных (безиндукционных) сопротивления r₁, r₂, r₃ и r₄, причем под r₁ и r₂ мы будем понимать в дальнейшем полные актив­ные сопротивления плеч 1 и 2, включая и сопротивления катушек.

Комплексное сопротивление плеча 1 (ср. пример 1) есть r₁+jL₁ , а для плеча 2 оно соответственно равно r₂+jL₂. Поэтому условие равновесия моста на переменном токе есть

или иначе

575

Но для равенства двух комплексных выражений необходимо, чтобы были равны их вещественные и мнимые части порознь. Поэтому мы получаем два условия:

Наличие двух условий соответствует тому физическому обстоятельству, что для равновесия моста необходимо, чтобы колебания потенциала в точках в и г (рис. 494) имели не только одинаковые амплитуды, но и одинаковые фазы, ибо только в этом случае можно добиться, чтобы разность потенциа­лов точек в и г была равна нулю в любой момент времени, что необходимо для исчезновения звука в телефоне.

Первое условие есть условие равновесия моста при постоянном токе. Следовательно, равновесие при переменном токе возможно только в том случае, если одновременно мост уравновешен и для постоянного тока.

В соответствии с этим при измерении индуктивностей к точкам а и б мостовой схемы (рис. 494) прикладывают попеременно либо постоянное на­пряжение (заменяя при этом телефон Т на гальванометр), либо переменное напряжение и, изменяя все четыре сопротивления r₁, r₂, r₃ и r₄, добиваются, чтобы мост был в равновесии в обоих случаях. Тогда из второго условия равновесия можно определить отношение индуктивностей, а если одна из индуктивностей известна, то можно найти и значение второй неизвестной индуктивности.