Контрольная работа № 2 Методические указания для выполнения контрольной работы № 1

Для выполнения контрольной работы № 1 нужно изучить материал по теории по темам: «линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия» (учебное пособие «высшая математика в задачах» часть I Агафоновой В.Н. главы: 1, 2, 3. стр. 4-185, год издания 2006.)

Задача № 1

Даны векторы , , , в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, найти координаты вектора в этом базисе.

Решение

Для того чтобы векторы образовывали базис, нужно, чтобы они были линейно независимые, т.е. определитель, составленный из координат этих векторов должен быть отличен от нуля. Определитель вычисляется понижением порядка.

Т.к. определитель, составленный из координат векторов не равен нулю, то векторы линейно независимы, то они образуют базис.

Разложить вектор по базису - это значит представить его в виде линейной комбинации векторов базиса, т.е. в виде:

(1)

Числа - это координаты векторы в базисе .

Для нахождения чисел составим систему трех уравнений с тремя неизвестными и решим ее любым способом, но самым рациональным является метод Гаусса. Чтобы правильно составить систему, нужно помнить, что все соответствующие координаты векторов должны удовлетворять формуле (1). Получим систему:

(2)

Для решения системы (2) выписываем расширенную матрицу коэффициентов системы (2) и приводим ее к треугольному виду:

Переставим первую строку на первое место, чтобы получить все нули, кроме первого, т.к. единица хорошо уравнивается с любым числом. Умножим все элементы первой строки на (-2) и сложим со второй. При этом первое неизвестное исключается из всех уравнений, кроме первого. Затем исключаем неизвестное из третьего уравнения.

.

Запишем систему эквивалентную этой матрице:

Из последнего уравнения находим , затем .

Решение системы

Найденные значения подставляем в формулу (1).

- разложение вектора по базису . Координаты вектора в базисе .

Задача № 2

Даны координаты вершин пирамиды . (-1;2;1), (-2;2;5), (-3;3;1), (-1;4;3). Средствами векторной алгебры и аналитической геометрии найти:

1. длину ребра ;

2. угол между ребрами и ;

3. площадь грани ;

4. объем пирамиды;

5. уравнение прямой ;

6. уравнение плоскости ;

7. Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

8. угол между ребром и плоскостью .

Сделать схематический чертеж.

Решение

1) Для нахождения длины ребра найдем координаты вектора , как разность координат конечной и начальной точек.

(Рисунок)

Модуль вектора находим по формуле

(1)

где - координаты вектора .

2) Чтобы найти угол между ребрами и нужно найти координаты вектора и использовать формулу скалярного произведения векторов в координатной форме.

(2)

где Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

(3)

где и - модули векторов вычисляются по формуле (1), - косинус угла между векторами и . Из формулы (3) выражаем

3) Площадь грани вычисляется по формуле:

, (4)

где

- векторное произведение векторов, вычисляемое с помощью определителя третьего порядка, в котором первая строка – единичные векторы , а вторая и третья строки – координаты векторов и .

(кВ. ед.).

4) Объем пирамиды вычисляется через модуль смешанного произведения трех векторов, выходящих из одной вершины.

(5)

Векторное произведение векторов было вычислено ранее. Умножим скалярно полученный вектор на по формуле (2).

(куб. ед.).

5) Для составления уравнения прямой применяем уравнение прямой, проходящей через две точки:

(6)

где и - координаты точек и .

6) Уравнение плоскости составим, применяя уравнение плоскости, проходящей через три точки:

, (7)

где , и - координаты точек , , .

Разлагаем определитель по первой строке.

7) Уравнение высоты составим, используя канонические уравнения прямой

(8)

где - координаты точки , - координаты направляющего вектора прямой. В качестве направляющего вектора выступает нормальный вектор плоскости . , . Подставим их в уравнение (8).

Задача № 3

Найти точку , симметричную точке относительно плоскости

Решение:

Симметричные точки лежат на одном перпендикуляре и одинаково удалены от плоскости , т.е. Составим уравнение перпендикуляра Применяем каноническое уравнение уравнения прямой в пространстве:

(1)

где - координаты направляющего вектора прямой, - координаты точки, через которую она проходит. В данной задаче В роли направляющего вектора прямой выступает нормальный вектор плоскости , т.е. .

.

Найдем точку пересечения прямой с плоскостью . Для этого решаем уравнение прямой ( ) с уравнением плоскости как систему

Первое уравнение системы запишем в параметрической форме:

( )

Подставим в уравнение плоскости и найдем параметр .

Подставляя в систему ( ), находим ( ) – координаты точки .

Точка - середина отрезка . Определяем координаты точки по формулам:

Координаты точки .

Задача № 4

Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить двумя способами:

1. Методом Гаусса;

2. С помощью обратной матрицы.

Решение:

Вычислим главный определитель системы понижением порядка.

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Решаем методом Гаусса – методом последовательного исключения неизвестных. Преобразуем расширенную матрицу системы:

.

Пояснения. На первом этапе исключается неизвестное . Для этого первое уравнение мысленно умножается на (-3) и складывается со вторым. Затем первое уравнение умножается на (-2) и складывается с третьим. Далее элементы второй строки сокращаем на (-2). Все элементы второй строки умножаются на 3, а третьей строки на 2 и складываются. Результат пишется на листе третьей строки. Матрица приведена к треугольному виду. Запишем систему, эквивалентную этой матрице:

Поднимаясь снизу вверх, находим все неизвестные системы. ; ; .

Решение системы:

Сделать проверку, подставив найденные неизвестные в каждое уравнение первоначальной системы. Если все равенства будут верными, решение системы найдено правильно. Для того, чтобы решить систему матричным способом, нужно записать ее в виде матричного уравнения и записать формулу для его решения. Для этого обозначим матрицей матрицу коэффициентов при неизвестных левой части системы: , матрицу неизвестных обозначим через .

, - матрица свободных членов.

Тогда система запишется в виде матричного уравнения:

(1)

Неизвестная матрица находится по формуле:

(2)

где - обратная матрица для .

Обратная матрица существует, если ее определитель

Он был вычислен ранее следовательно обратная матрица существует.

(3)

где - присоединенная матрица для - это транспонированная матрица алгебраических дополнений для элементов матрицы .

Находим алгебраические дополнения для элементов строк и сразу транспонируем, т.е. пишем в соответствующий столбец. Алгебраические дополнения обозначаются . Индексы и такие же, как у элементов матрицы .

Составляем присоединенную матрицу:

. .

Находим матрицу по формуле (2):

. .

Из равенства двух матриц имеем:

,