2. Непрерывность функции, точки разрыва, их классификация.

Определение. Функция называется непрерывной в точки , если в этой точке для нее справедливо равенство . В этом определении содержатся три условия, которым должна удовлетворять непрерывная функция:

а) функция в точке должна быть определена;

б) функция в точке должна иметь конечный предел;

в) этот предел должен совпадать со значением функции в точке .

Если нарушено хотя бы одно из трех перечисленных условий, функция в точке будет разрывна. Разрыв может быть трех видов: разрыв I рода, II рода и разрыв III рода – «устранимый разрыв».

1. Разрыв I рода в точке будет в том случае, если функция не определена в точке , но имеет конечные, различные, односторонние пределы, т.е. ,

, . (рисунок 1а).

2. Разрыв III рода, так называемый «устранимый» разрыв, будет в том случае, если функция в точке не определена, но имеет одинаковые конечные односторонние пределы, т.е. . (рисунок 1б).

3. Все точки разрыва, не относящиеся к точкам разрыва I и III рода, являются точками разрыва II рода. В этом случае оба односторонние пределы могут быть бесконечными или один из них конечный, а другой бесконечный или не существует. (рисунок 1в, 1г).

(Графики)

Пример. Задана функция и два значения аргумента и . Требуется:

1. Установить, является ли данная функция непрерывной или неразрывной для каждого из данных значений аргумента;

2. В случае разрыва определить, какого он рода;

3. Все рассуждения обосновать.

Решение:

Исследуем точку .

1. Функция в точке определена

2. Вычислим предел функции в точке .

Функция в точке определена, поэтому при вычислении предела подставляем предельные значения аргумента . Предел в точке существует конечный, равный .

3.

Значение функции в точке совпадает со значением предела

Все три условия непрерывности выполнены, значит, в точке функция непрерывна.

Исследуем точку .

В этой точке функция неопределенна, т.е. не существует (показатель степени является дробью, которая не существует, так как знаменатель ее равен нулю в точке ).

Нарушено первое условие непрерывности, поэтому в точке функция терпит разрыв, исследуем на характер разрыва. Находим односторонние пределы функции в точке .

Предел справа является бесконечным, поэтому функция в точке имеет разрыв II рода.

(График – рисунок 2)

3. Производная функции и ее приложения.

Изучить теорию по данной теме, без которой невозможно решать предлагаемые задачи с понятием производной, с основными теоремами и правилами дифференцирования, с понятием дифференциала, кроме литературы, указанной в методичке, можно ознакомиться в методических указаниях «основы дифференциального исчисления функции одной переменной» (авторы Вержбалович Т.А., Самойлова Л.В. Курган, КГУ, 2010 г.).

3.1 Основные теоремы о производных.

Если и дифференцируемые в точке имеют место равенства:

1. (3.1)

2. (3.2)

3. (3.3)

4. (3.4)

3.2 Производная сложной функции и , тогда , т.е. функция в конечном итоге зависит от , а - это промежуточная переменная. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Если существуют производные и , тогда справедливо равенство: ,

т.е. производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой. Так как производная сложной функции встречается чаще, то таблицу производных элементарных функций лучше сразу запоминать для сложного аргумента.

3.3 Таблица производных основных элементарных функций.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

Очень часто встречаются производные от квадратичного корня и производная от дроби с постоянным числителем, поэтому удобно в этих случаях пользоваться формулами (15), (16).

Найти производные функций:

Пример 1.

Это степенная функция со сложным основанием. Находим производную по формуле (1), затем по формуле (2).

Пример 2.

. Так как функция логарифмическая со сложным аргументом, то применяем формулу (6).

продолжаем дифференцировать по формуле (10).

.

Пример 3.

. Находим производную от дроби по формуле (3).

.

Пример 4.

. Для нахождения производной применяем метод логарифмического дифференцирования.

.

После логарифмирования дифференцируем обе части по . . Пояснения. Дифференцируем левую часть равенства по правилу дифференцирования сложной функции, т.к. зависит от . (сначала по , затем умножаем на производную по , т.е. . Правую часть дифференцируем как произведение. Затем из полученного равенства находим .В ответ подставляем из условия задачи. Логарифмическое дифференцирование применяется для функций .

Пример 5.

. Это неявная функция, т.к. не выражен через . Дифференцируем по тем же формулам, что и явную, только производную от находим по правилу дифференцирования сложной функции.

.

.

Слагаемые с переносим в одну сторону, без - в другую. Группируем и находим из полученного равенства.

. .

3.4 Производная от функций, заданных параметрически.

Если и являются функциями, зависящими от одного параметра , то это задание называется параметрическим:

Производная от таких функций находится по формуле:

. (3.5)

Пример 6.

Найти производную от функции, заданной параметрически:

Если производную первого порядка продолжать дифференцировать дальше, то получим производную второго порядка .

Пример 7.

Найти .

.

вычисляем по формуле (3.6)

.

3.5 Приложения производной. Геометрический смысл производной.

Численное значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной в точке к графику функции с положительным направлением оси . . Это используется для составления уравнения касательной. Оно имеет вид:

(3.7)

Пример 8. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Решение:

Находим ординату точку касания: . Подставляем координату в уравнение кривой. Точка касания . Находим .

Находим угловой коэффициент касательной . Подставляем и в уравнение (3.7)

- это уравнение касательной.