Методические указания для выполнения контрольной работы № 2

В контрольной работе № 2 все задачи составлены из двух разделов «Введение в математический анализ» и «Производная функции». Решению примеров по математическому анализу предшествует очень большая теоретическая часть, без которой решение не возможно. С ней можно ознакомиться в учебном пособии «Высшая математика в задачах» ч.- I (Агафонова В.Н., Курган, КГУ, 2006 г., стр. 186-270.). Изучить все теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых функциях, основные теоремы о пределах, правила предельного перехода и все неопределенные случаи, которые могут быть и как они раскрываются.

1. При вычислении предела от дроби, в числителе и знаменателе, которой содержатся бесконечно большие многочлены целых или дробных степеней встречаемся с неопределенностью . Она раскрывается делением числителя и знаменателя дроби на наивысшую степень переменной, входящей в ее числитель или знаменатель. При этом может быть три случая:

Отсюда можно сделать следующие выводы:

а) если степени в числители и знаменатели дроби, то предел всегда конечный, и равен отношению коэффициентов при старших степенях переменных числителя и знаменателя;

б) если в числители степень меньше, чем в знаменателе, предел всегда равен 0;

в) если в числителе степень больше чем в знаменателе , то конечного предела нет, дробь будет бесконечно большой и предел ее равен .

Замечание 1.

Если в числители или в знаменателе имеется несколько слагаемых с одинаковой наивысшей степенью, то коэффициенты при старших степенях суммируются.

Примеры:

1)

Пояснения. Разделим числитель и знаменатель на . Применим теорему о пределе частного, т.е. вычислим предел в числителе и предел в знаменателе, затем применим теорему о пределе алгебраической суммы. Учитывая, что предел постоянной равен самой постоянной, а остальные слагаемые в числителе и знаменателе являются бесконечно малыми пределы которых равны 0, переходим к пределу и получаем ответ.

2)

Следующая неопределенность , которая раскрывается несколькими способами: разложением числителя и знаменателя на множители, освобождением от иррациональности, с помощью первого замечательного предела , с помощью эквивалентных абсолютно малых.

3)

Пояснения. Разлагаем на множители числитель и знаменатель дроби. В знаменатели сумму кубов разлагаем по формуле: . В числителе квадратный трехчлен разлагаем на множители, решая квадратное уравнение . Корни находим по теореме Виета:

Данная дробь существует в точке , поэтому подставляем вместо предельное значение.

4) .

Для раскрытия неопределенности домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

5)

Числитель дроби свертываем по формуле:

.

Далее пользуемся эквивалентными бесконечно малыми ; .

6)

В числители дроби разность логарифмов заменяем логарифмом дроби (потенцируем). Затем пользуемся эквивалентными бесконечно малыми: .

При раскрытии неопределенности применяем второй замечательный предел:

,

.

Если нет этой неопределенности, то второй замечательный предел не работает. Особенность этого предела состоит в том, что второе слагаемое в скобках и показатель степени обратны по величине и одинаковы по знаку, первое слагаемое в скобках равно 1.

7)

Пояснения. В основании степени прибавляем и вычитаем 1. Затем приводим к общему знаменателю дробь и вычитаемую единицу. Затем подбираем показатель степени, обращенной второй дроби, но, чтобы не изменилось значение данного выражения, в показателе умножаем на дробь Так как возводить в степень можно при любом порядке сомножителей, стоящих в показателе степени, то расставляем скобки, указывающие этот порядок. Затем пользуемся правилом предельного перехода:

Этим правилом можно пользоваться только в том случае, если пределы в основании степени и в показатели оба конечны и одновременно не равны 0, т.е. если и . и одновременно не равно 0.

8)