4. Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критериі
Сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін:
11x1 + … + 1nxn = 1
. . . . . . . . . .
m1x1 + … + mnxn = m
Жүйенің
коэффициенттерінен құралған А
=
матрицасы жүйенің негізгі
матрицасы
деп аталады. Бос мүшелерден құралған
b
=
бағаны бос
мүшелер бағаны
деп аталады. Негізгі матрицаға бос
мүшелер бағанын қосып жазса, онда
жүйенің
=
кеңейтілген
матрицасы
шығады.
Гаусс тәсілі (белгісіздерді біртіндеп шығарып тастау тәсілі) бойынша сызықтық теңдеулер жүйесі былай шешіледі.
Сызықтық теңдеулер (1)-жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіреді. Егер оның рангі негізгі матрицаның рангіне тең болмаса, онда жүйе үйлесімсіз.
Егер кеңейтілген матрицаның r рангі негізгі матрицаның рангіне тең болса, онда жүйе үйлесімді.
Егер r = n болса, онда сатылы матрицаға сәйкес жүйенің түрі
11x1 + 12x2 + … + 1nxn = 1
22x2 + … + 2nxn = 2 (4)
. . . . . . . . . .
nnxn = n
болады, мұндағы ii 0, i = 1,..., n.
Соңғы
жалғыз xn
белгісізіне қатысты nnxn
= n
теңдеуінде nn
0, сондықтан оның жалғыз шешімі болады:
n
=
.
Осы n шешімін төменнен жоғарыға қарай есептегенде екінші теңдеуге қояйық: n–1, n–1xn–1, + n–1,nn = n–1. Мұнда n–1,n–1 0, сондықтан оның жалғыз n–1 шешімі болады. Осыны төменнен жоғары қарай жалғастыра берсе, (4)-жүйенің жалғыз (1, 2,…, n) шешімі табылады.
Сөйтіп, үйлесімді жүйенің кеңейтілген матрицаның r рангісі белгісіздердің n санына тең болса, онда жүйенің жалғыз шешімі болады, яғни жүйе анықталған болады.
Енді r < n болсын. Онда жүйенің түрі
11x1 + 12x2 + … + 1rxr +… + 1nxn = 1
22x2 + … + 2rxr +… + 2nxn = 2 (5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
nrxr +…+ nnxn = n
болады, мұндағы ii 0, i = 1,..., r. Осы жүйедегі xr+1,…, xn белгісіздері бар мүшелер теңдеулердің оң жағына шығарылады:
x1 = 1 + 1,r+1xr+1 +… + 1,nxn
x2 = 2 + 2,r+1xr+1 +… + 2,nxn (6)
. . . . . . . . . . . . .
xr = r + r,r+1xr+1 +… + r,nxn.
Осы жүйеде xr+1,…, xn белгісіздеріне (r+1, r+2,…, n) мәндерін берсе, онда x1,…, xr белгісіздеріне қатысты жүйенің рангі белгісіздердің санына тең. Сондықтан жүйенің x1,…, xr белгісіздеріне қатысты жалғыз шешімі болады: (1, 2,…, r). Онда (1, 2,…, n) векторы (4)-жүйенің шешімі болады.
Енді (r+1, r+2,…, n) мәндерін өзгертсе, онда басқа (4)-жүйенің басқа (1, 2,…, n) шешімі табылады. Сонымен xr+1,…, xn белгісіздерінің мәндерін қанша өзгертсе, сонша (4)-жүйенің басқа шешімі табыла береді.
Сондықтан егер r < n болса, онда (4)-жүйенің шешімдер саны ақырсыз болады, яғни жүйе анықталмаған болады.
(6)-жүйе алғашқы (1)-жүйенің жалпы шешімі деп аталады. Жалпы шешімді векторлық түрде де жазуға болады:
(1 + 1,r+1xr+1 +… + 1,nxn, x2 = 2 + 2,r+1xr+1 +… + 2,nxn, …, xr = r + r,r+1xr+1 +… + r,nxn, xr+1,…, xn).
Ал xr+1,…, xn еркін белгісіздер және x1,…, xr – негізгі белгісіздер деп аталады.
Жүйенің дербес шешімі жалпы шешімге еркін белгісіздерге мән бергенде табылады.
Теорема 2. Үйлесімді (1)-жүйенің кеңейтілген матрицасының рангі r болсын. Егер r = n болса, онда жүйе анықталған болады. Егер r < n болса, онда жүйе анықталмаған болады.