3. Однородные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y: Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде или через дифференциалы: где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка.

Определение однородной функции

Функция P(x,y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение:

Решение однородных дифференциальных уравнений

Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной: .

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде где a(x) и b(x) − непрерывные функции.

Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет вид и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Пример 1

Найти общее решение уравнения y' − y = y2ex.

Решение.

Для заданного уравнения Бернулли m = 2, поэтому сделаем подстановку. Дифференцируя обе части уравнения (переменная y при этом рассматривается как сложная функция x), можно записать: Разделим обе части исходного дифференциального уравнения на y2: Подставляя z и z', находим: Мы получили линейное уравнение для функции z(x). Решим его с помощью интегрирующего множителя: Общее решение линейного уравнения выражается формулой

Возвращаясь к функции y(x), получаем ответ в неявной форме: который можно записать также в виде: Заметим, что при делении уравнения на y2 мы потеряли решение y = 0. В результате, полный ответ записывается в виде: .

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

Использование интегрирующего множителя;

Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).

Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая задача называется задачей Коши.

Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0) = y0.

Пример 1

Решить уравнение y' − y − xex = 0.

Решение.

Запишем данное уравнение в стандартной форме: Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель: Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:

.