9. Системы дифференциальных уравнений. Решение нормальной системы методом исключений и интегрируемых комбинаций.
10. Числовой ряд. Сходимость геометрического ряда. Необходимый признак сходимости.
выражение
вида
называется числовым рядом ряд называется
сходящимся, если LimSnсущ и не бесконечен.
ряд
называется геометрическим.ряд сход
если |q|<1 если |q|=>1 расходится
Необхпризн сходимости: если ряд сходится, то предел его общего члена навен 0
ряд вида 1+1/2+1/3+1/4+1/5+..+1/n называется гармоническим
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ,ВЫЧИТАНИЯ,УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ. ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО РЯДА С ОТБРОШЕННЫМ ИЛИ ПРОПИСАННЫМ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ.
Если ряд a1+a1+..+an сход и его сумма равна А, то ряд a1C+a2C+anC 1, где С-конст,также сходится и его сумма равна AC
Отбрасывание или приписываник к ряду членов не меняет характера сходимости
11. Признаки сравнения для знакоположительных рядов.
1.Пусть даны 2 ряда А и B, причём an=>0 и bn=>0, тогда
Если ряд 2 сход то 1 ряд сход, если ряд 1 расход, то ряд 2 расход
2.Пусть даны 2 строго положит ряда, рассм предел их общих членов liman\bn=к, если к существует и конечно, то оба ряда одинаково сход или расх
12. Признаки Коши и Даламбера для числовых рядов.
Признак Даламбера: Дан строго положит ряд, если сущ конечный предел отношения последнего члена к предыдущему, то при d<1 ряд сход при d>1расход при d=1вопрос открыт
Признак Коши: Дан неотриц ряд, если существует конечн предел корня n-ной степени из an, то при D<1 ряд сход, d>1 расход d=1 вопрос открыт.
13. Интегральных признак сходимости.
14. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Достаточное условие фбсолютной сходимости.
Ряд называется знакочередующимся, если 2 любых соседних члена имеют противоположные знаки
Признак Лейбница. Если знакочеред ряд удовл. след.условиям : члены по модулю не возрастают, предел общего члена=0, то знакочеред ряд сход.
Дост. усл. сходимости. Если данный ряд и ряд из модулей сход., то данный ряд сход.абсолютно
15. Функциональные ряды. Степенной ряд. Теоремы Абеля и о существовании радиуса сходимости для степенного ряда.
Ряд
,
члены которого являются функциями от
переменной
,
называется функциональным.
Призн. Вейерштрасса
Пусть
существует последовательность
такая,
что для любого
выполняется
неравенство
Пусть,
кроме того, ряд
сходится. Тогда ряд
сходится на множестве Х абсолютно и равномерно.
ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. СУЩ. РАДИУСА СХОД. СТЕПЕННОГО РЯДА. НАХОЖД. РАДИУСА СХОДИМОСТИ
Т. Абеля: если степенной ряд сход в точке x1 не=0, то он абсолютно сход при всех х таких что |x|<|x1|
если расход в x2>0 то он расход.при всех х для которых|x|>|x2|
Сущ радиуса сход. Если степенной ряд имеет более чем 1 точку сход. и имеет точки расходимости, то сущR>0, что в интервале (-R;R) ряд сход. а в промежутке (-беск;-R) (R;+беск) ряд расх.Вx=+-R поведение ряда разное.
Обл сход находим так: сост ряд из модулей и прим признДоломбера или Коши для решения вопроса о сходимости на концах интервала сходимости.