6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Существование и свойства решений лоду. Решение лоду с постоянными коэффициентами.

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида

где bo(x) ≠ 0, b1(x),..., bn(x), g(x) - заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции bo(x), b1(x),..., bn(x) называются коэффициентами уравнения (3.11), а функция g(x) - его свободным членом.

Если свободный член g(x)=0, то уравнение (3.11) называется линейным однородным уравнением; если g(x) ≠ 0, то уравнение (3.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (3.11) на bo(x) ≠ 0 и обозначив

запишем уравнение (3.11) в виде приведенного:

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а;b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см. теорему. 3.1).

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами записывается в виде

где a1, a2,..., an − постоянные числа, которые могут быть действительными или комплексными.

Используя линейный дифференциальный оператор L(D), данное уравнение можно представить в виде где Для каждого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами можно ввести характеристический многочлен Алгебраическое уравнение

называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности. При этом корни уравнения могут быть как действительными, так и комплексными (даже если все коэффициенты a1, a2,..., an действительные).

Рассмотрим более детально различные случаи корней характеристического уравнения и соответствующие формулы общего решения дифференциального уравнения.

Случай 1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные

Предположим, что характеристическое уравнение L(λ) = 0 имеет n корней λ1, λ2,..., λn. В этом случае общее решение дифференциального уравнения записывается в простом виде: где C1, C2,..., Cn − постоянные, зависящие от начальных условий.

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные

Пусть характеристическое уравнение L(λ) = 0 степени n имеет m корней λ1, λ2,..., λm, кратность которых, соответственно, равна k1, k2,..., km. Ясно, что выполняется условие Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Видно, что в формуле общего решения каждому корню λi кратности ki соответствует ровно ki членов, которые образуются умножением x в определенной степени на экспоненциальную функцию exp(λi x). Степень x изменяется в интервале от 0 до ki − 1, где ki − кратность корня λi.

Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные

Если коэффициенты дифференциального уравнения являются действительными числами, то комплексные корни характеристического уравнения будут представляться в виде пар комплексно-сопряженных чисел:

В этом случае общее решение записывается как

Случай 4. Корни характеристического уравнения комплексные и кратные

Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней α ± iβ кратности k соответствует 2k частных решений

Тогда часть общего решения дифференциального уравнения, соответствующая данной паре комплексно-сопряженных корней, конструируется следующим образом:

В общем случае, когда характеристическое уравнение имеет как действительные, так и комплексные корни произвольной кратности, общее решение строится в виде суммы рассмотренных выше решений вида 1-4.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение y''' + 2y'' − y' − 2y = 0.

Решение.

Составим соответствующее характеристическое уравнение:

Решая его, находим корни:

Видно, что все три корня действительные. Поэтому, общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

где C1, C2, C3 − произвольные постоянные.

Совокупность частных линейно независимых решений составляет фундаментальную систему решений ЛОДУ (3).

Тогда общее решение ЛОДУ (12) имеет вид:

Компоненты общего решения дифференциального уравнения (3) определяются в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4) следующим образом:

1) каждому действительному простому (т.е. не кратному) корню в общем решении соответствует слагаемое вида ;

2) каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида ;

3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;

каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

.

Общее решение (ЛОДУ) второго порядка.

Порядок	n=2
Общий вид ЛОДУ
Характеристическое уравнение
Характер корней	- действительные различные числа	действительные одинаковые числа	- комплексно сопряженные числа
Фундаментальная система решений
Общее решение