21. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Свойства криволинейных интегралов.

Положит направлен касат принимается то котороен соотв направл движен точки по кривой от Ак В. Обозначим через угл составл с осями

координ направл касат к кривой АВ в точке М(х,у),тогда . Получ ф-лы устанавл связь межд интегр превого и второго рода. При изменен направл движен точки по кривой на противоположн меняют знак и поэтому формулы остаются в силе

22. Формула Грина.

Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.

y

y = y2(x)

D

A

C

B

y= y1(x)

0 x1 x2 x

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:

Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.

23. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

24. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их вычисление.

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S, пространства Oxyz определена непрерывная функция f(x;у;z). Разобьем поверхность S на n частей Si площади которых обозначим черезΔSi, а диаметры через di, i=1:n. В каждой части Si

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ.

25. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

26. Формула Остроградского.

Теорема: пусть V простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S. И пусть P(x,y,z,), Q(x,y,z,), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, тогда имеет место формула,которая приводит поверхностный интеграл по замкнутой поверхности S к троймому интегралу по области V, которую эта поверхность ограничивает.

27. Формула Стокса.

Пусть S поверхность, ограниченная контуром l.

Теорема: Если P(x,y),Q(x,y), R(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными второго порядка на поверхности S, то имеет место формула, которая устанавливает связь между поверхностным интегралом по поверхности Sc криволинейным интегралом по замкнутому контуру l, ограничивающим эту поверхность.

28. Производная по направлению. Градиент, его свойства и приложения.

Существует функция Z=f(x,y), определенная в некоторой окрестности точки М и её производной , единичный вектор l.

Для характеристики скорости изменения функции в точке М(x,y) в направлении вектора l вводится понятие производной по направлению.

Определение: Предел отношения называется производной функции f(M) по направлению вектора l и обозначается .

Если f(x,y) дифференцируема в точке M то её приращение можно представить в виде:

при

ГРАДИЕНТ ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ.

Определение: Градиентом функции z=f(M) в точке М(x,y) называется вектор координаты которого равны соответствующим частным производным взятым в точке М(x,y)

а производная по направлению равна:

Отсюда следует, что производная по направлению имеет общую величину при cosϕ=1 ϕ=0

т.е. когда направление l совпадает с gradz, градиент функции z=f(M) в точке М(x,y) характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.