16. Основные свойства степенных рядов.

Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости.

(непрерывность суммы ряда). На любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости степенного ряда (1.2), сумма ряда есть непрерывная функция.

(Почленное интегрирование степенного ряда). Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

(Почленное дифференцирование степенного ряда). Пусть степенной ряд

   имеет радиус сходимости R. Тогда ряд

   полученный в результате почленного дифференцирования ряда также имеет радиус сходимости R.

17. Разложение , , , , в ряд Маклорена.

если функция имеет в окрестности точки x0 производные до n-ного порядка включительно и имеет n+1 производную в проколотой окрестности точки x0 и производные до n-ного порядка непрерывны, то имеет место формула

18. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

 Пример 1.

Вычислить с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением Тогда

= 0,0238+0,0046– –0,0008≈0,7475≈0,748.

Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

Вычисление интегралов.

19. Теорема о единственности разложения в тригонометрический ряд. Теорема о разложении функции в ряд Фурье. Свойства коэффициентов ряда Фурье.

Определение. Тригонометрическим рядом Фурье функции называется ряд,

построенный по системе функций, приведенной в примере §11. Рядпишется в виде:

Теорема 1. Тригонометрический ряд Фурье кусочно-непрерывной на [−π, π] функции сходится к ней в каждой точке непрерывности отрезка (поточечная сходимость).

В точках разрыва функции ряд Фурье сходится к значению среднего арифметического односторонних пределов: {без доказательства}

Теорема 2. Если функция непрерывна на то ее ряд Фурье сходится

к ней равномерно, т.е. (в абсолютной норме). {без доказательства}

Если функция определена на отрезке [−l, l], то разложение будет иметь вид:

Замечания. 1) Если заданная функция − четная (нечетная), то разложение будет только по косинусам (синусам) { для четной функции: произведение нечетно, и все ,

для нечетной − все }

2)Функция может быть определена на большем промежутке, однако ее ряд Фурье S(x)

будет функцией периодической, с периодом 2π (или 2l).

Пример.

Ответ:

Что скидывал Олег:

Если функция определена на отрезке [-pi;pi] , разлогается в тригонометр ряд и коэф разложения определяются по формулам

то разложение единственно.

20. Криволинейный интеграл. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода.

Если при λ→0 существует конечный предел интегральных сумм, то его называют криволинейным интегралом от функции f(x;y) по длине кривой АВ.

Теорема:если функция f(x;y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА.

1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

3) Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то

5) Если в точках кривой АВ

то

6) Справедливо неравенство:

7) Если f(x, y, z) = 1, то

S – длина дуги кривой,  - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.

8) Теорема о среднем.

Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1) такая, что

Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),

t, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = , а точке В соответствует t = . Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.

Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле :

Длина всей кривой АВ равна:

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.

Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии

Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением то получаем:

ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО РОДА.

Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем кривую точками на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму произведений значений функции в каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.

;

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.

Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам отличается от криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги тем, что значение функции при составлении интегральной суммы умножается не на длину частичной дуги, а на ее проекцию на соответствующюю ось. (В рассмотренном выше случае – на ось ОХ).

Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и по переменным у и z.

Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом второго рода.

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.

2)

3)

4)

5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным.

6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то

Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у и z.

Теорема. Если кривая АВ – кусочно- гладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и

R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы

существуют.

Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем преобразования их к определенным интегралам по формулам:

В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то

Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.

Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и