18. Принцип суперпозиции и его проявления. Принципы симметрия:

При́нцип суперпози́ции — один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

• Результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.

• Любое сложное движение можно разделить на два и более простых.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов.

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:

• Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.

• Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.

• Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.

Симметрия (от греч. symmetria - соразмерность) ­однородность, пропорциональность, гармония, инвари­антность структуры материального объекта относитель­но его преобразований. Это признак полноты и совер­шенства. Лишившись элементов симметрии, предмет ут­рачивает свое совершенство и красоту, т.е. эстетическое понятие.

Можно выде­лить следующие операции симметрии:

■ отражение в плоскости симметрии (отражение в зер­кале);

■ поворот вокруг оси симметрии (поворотная симметрия);

■ отражение в центре симметрии (инверсия);

■ перенос (трансляция) фигуры на расстояние;

■ винтовые повороты.

Отражение в плоскости симметрии

Отражение — это наиболее известная и чаще других встречающаяся в природе разновидность симметрии. Зеркало в точности воспроизводит то, что оно «видит», но рассмотренный порядок является обращенным: правая рука у вашего двойника в действительности окажется ле­вой, так как пальцы расположены на ней в обратном порядке. Всем, наверное, с детства знаком фильм «Ко­ролевство кривых зеркал», где имена всех героев чита­лись в обратном порядке. Зеркальную симметрию можно обнаружить повсюду: в листьях и цветах растений, архитектуре, орнаментах. Че­ловеческое тело, если говорить лишь о наружном виде, обладает зеркальной симметрией, хотя и не вполне стро­гой. Более того, зеркальная симметрия свойственна телам почти всех живых существ, и такое совпадение отнюдь не случайно. Важность понятия зеркальной симметрии вряд ли можно переоценить. Зеркальной симметрией обладает все, допускающее разбиение на две зеркально равные половинки. Каждая из половинок служит зеркальным отражением другой, а разделяющая их плоскость называется плоскостью зер­кального отражения, или просто зеркальной плоскостью. Эту плоскость можно назвать элементом симметрии, а со­ответствующую операцию — операцией симметрии. Отражение в зеркале — это один из способов повто­рения фигуры, приводящий к возникновению симмет­ричного узора. Если использовать не одно, а два зеркала, то можно получить устройство, названное калейдоско­пом, открытое в 1819 г. Д. Брюстером. В калейдоскопе совмещаются два вида симметрии: зеркальная и пово­ротная. Расположив зеркала под определенным углом, можно увидеть отражение, отражение отражения и т.д. Вечно изменяющаяся череда узоров завораживает взор каждого. Если два зеркала не пересекаются, а установлены па­раллельно друг другу, то вместо орнамента с элемента­ми, расположенными по кругу, получается бесконечный узор, который повторяется и напоминает бордюр или ленту из ткани. С трехмерными симметричными узорами мы сталки­ваемся ежедневно: это многие современные жилые зда­ния, а иногда и целые кварталы, ящики и коробки, гро­моздящиеся на складах, атомы вещества в кристалличес­ком состоянии образуют кристаллическую решетку — элемент трехмерной симметрии. Во всех этих случаях правильное расположение позволяет экономно исполь­зовать пространство и обеспечивать устойчивость.

Поворотная симметрия

Внешний вид узора не изменится, если его повернуть на некоторый угол вокруг оси. Симметрия, возникающая при этом, называется поворотной симметрией. Примером может служить детская игра «вертушка» с поворотной сим­метрией. Во многих танцах фигуры основаны на враща­тельных движениях, нередко совершаемых только в одну сторону (т.е. без отражения), например, хороводы. Листья и цветы многих растений обнаруживают ра­диальную симметрию. Это такая симметрия, при которой лист или цветок, поворачиваясь вокруг оси симметрии, переходит в себя. На поперечных сечениях тканей, обра­зующих корень или стебель растения, отчетливо бывает видна радиальная симметрия. Соцветия многих цветков также обладают радиальной симметрией.

Отражение в центре симметрии

Примером объекта наивысшей симметрии, характе­ризующим эту операцию симметрии, является шар. Ша­ровые формы распространены в природе достаточно ши­роко. Они обычны в атмосфере (капли тумана, облака), гидросфере (различные микроорганизмы), литосфере и космосе. Шаровую форму имеют споры и пыльца расте­ний, капли воды, выпущенной в состоянии невесомости на космическом корабле. На метагалактическом уровне наиболее крупными шаровыми структурами являются галактики шаровой формы. Чем плотнее скопление га­лактик, тем ближе оно к шаровой форме. Звездные скоп­ления — тоже шаровые формы.

Трансляция, или перенос фигуры на расстояние

Трансляция, или параллельный перенос фигуры на рас­стояние — это любой неограниченно повторяющийся узор. Она может быть одномерной, двумерной, трехмерной. Трансляция в одном и том же или противоположных на­правлениях образует одномерный узор. Трансляция по двум непараллельным направлениям образует двумерный узор. Паркетные полы, узоры на обоях, кружевные ленты, дорожки, вымощенные кирпичом или плитками, кристаллические фигуры образуют узоры, которые не имеют естественных границ. При изучении орнаментов, используемых в книгопечатании, были обнаружены те элементы симметрии, что и в рисунке выложенных кафельными плитами полов. Орнаментальные бордюры связаны с музыкой. В музыке элементы симметричной конструкции включают в себя операции повторения (трансляции) и обращения (отра­жения). Именно эти элементы симметрии обнаружива­ются и в бордюрах. Хотя в большинстве случаев музыка не отличается строгой симметрией, в основе многих музыкальных про­изведений лежат операции симметрии. Особенно замет­ны они в детских песенках, которые, видимо, поэтому так легко и запоминаются. Операции симметрии обна­руживаются в музыке средневековья и Возрождения, в музыке эпохи барокко (нередко в весьма изощренной форме). Во времена И.С. Баха, когда симметрия была важным принципом композиции, широкое распростра­нение получила своеобразная игра в музыкальные голо­воломки. Одна из них заключалась в решении загадоч­ных «канонов». Канон — это одна из форм многоголос­ной музыки, основанной на проведении темы, которую ведет один голос, в других голосах. Композитор предла­гал какую-нибудь тему, а слушателям требовалось уга­дать операции симметрии, которые он намеревался ис­пользовать при повторении темы. Природа задает головоломки как бы противополож­ного типа: нам предлагается завершенный канон, а мы должны отыскать правила и мотивы, лежащие в основе существующих узоров и симметрии, и наоборот, отыс­кивать узоры, возникающие при повторении мотива по разным правилам. Первый подход приводит к изучению структуры вещества, искусства, музыки, мышления. Вто­рой подход ставит нас перед проблемой замысла или пла­на, с древних времен волнующей художников, архитек­торов, музыкантов, ученых.

Винтовые повороты

Трансляцию можно комбинировать с отражением или поворотом, при этом возникают новые операции сим­метрии. Поворот на определенное число градусов, со­провождаемый трансляцией на расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию — симметрию вин­товой лестницы. Пример винтовой симметрии — распо­ложение листьев на стебле многих растений. Головка подсолнечника имеет отростки, расположен­ные по геометрическим спиралям, раскручивающимся от центра наружу. Самые молодые члены спирали находят­ся в центре. В таких системах можно заметить два семейства спи­ралей, раскручивающихся в противоположные стороны и пересекающихся под углами, близкими к прямым. Но какими бы интересными и привлекательными ни были проявления симметрии в мире растений, там еще много тайн, управляющих процессами развития. Вслед за Гете, который говорил о стремлении приро­ды к спирали, можно предположить, что движение это осуществляется по логарифмической спирали, начиная всякий раз с центральной, неподвижной точки и сочетая поступательное движение (растяжение) с поворотом вра­щения.