5. Определитель, содержащий две одинаковые строки. Вынесение общего множителя за знак определителя.

Определитель, содержащий две одинаковые строки равен 0.

Док-во:

Пусть определитель равен d и пусть элемент i строки равен элементу j строки. Поменяем местами i и j строки, получим определитель равный -d, При этом сам определитель не изменится (строки одинаковые). Следовательно, d= -d , а это возможно только если d=0.

Если все элементы некоторой строки умножить на k, то весь определитель умножится k. Общий множитель строки можно выносить за знак определителя.

6. Определитель, содержащий пропорциональные строки. Определитель, элементы строки которого представлены в виде суммы двух слагаемых.

Определитель, содержащий две пропорциональные строки равен 0.

Док-во:

Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками.(5 вопрос)

7. Определитель, в котором одна из строк является линейной комбинацией других.

Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен 0.

8. Определитель, полученный прибавлением к одной строке линейной комбинации других.

Определитель не меняется, если к элементам одной строки прибавляются элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

9. Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по строке(столбцу). Определитель треугольной матрицы.

Выберем k строк и k столбцов. Тогда на пересечении выбранных строк и столбоцв стоит матрица порядка k, определитель этой матрицы назыв. минором k-го порядка.

П ример:

2 1 -1 3

2 3 2 4 5

7 0 2 5

4 6 2 1 -1

2 3

k

-6

=2 k=1, М₁=а_ij k=3 1 -1 3

M₂=

2 4 M₃ = 2 4 5 = 32

2 1 0 2 5

1 -1 3

M₁=a₃₁=7. Доп. M^/₁= 2 4 5 = -39

2 1 -1

Пусть мы выбрали минор порядка k, тогда на оставшихся строках и столбцах стоит матрица MN-k. Тогда определитель назыв. дополнительным минором.

Д оп. М= M^/₁= 2 3 = -11

7 5

Пусть минор М_k – расположен в строках с номерами i1, i2,...,ik и столбцах с номерами j1, j2,…,jk, тогда алгеброическое дополнение минора М_k, назыв. его доп. минор M_k, умноженный на (-1)^{i1+...+ik+j1+…+jk}.

П ример:

7 2 5 M₁=a₁₂=2 M₁=a_ij, А_ij=(-1)^i+j

-1 2 3 A₁₂=(-1)¹⁺²= -1 3 = 13

4 5 1 4 1

Теорема:

a₁₁ a₁₂ … a_1n

d=

a₂₁ a₂₂ … a_2n

_{..........................}

a_n1 a_n2 … a_nn

Определитель d – равен сумме произведения всех произвольных элем. его строки на их алгеброическое дополнение.

d=a_i1A_i1+ a_i2A_i2+…+ a_inA_in.

Док-во:

Раасм. произведение a_i1A_i1; a_i2A_i2;...; a_inA_in. Все члены определителя, входящие в произведение a_i1A_i1, сод. из i-той строки элем. a_i1 и поэтому отлич. от членов, входящих в произвед a_i1A_i1, и т.д. => никакой член d неможет входить в сост. 2-х различ. произвед.

С др. стороны, общее число членов определителя, входящих во все произвед. = n(n-1)!=n!

Теорема Лопласа

Пусть в определителе d порядка n-произвольных выбрано k строк, тогда d = сумме произведений всех миноров k-го порядка, сод. в выбранных строках на их алгебраич. доп.

Пример:

-4 1 2 -2 1

0 3 0 1 -5

D = 2 -3 1 -1 0

-1 -1 3 -1 0

0 4 0 2 5

k=2, j₁=1, j₂=3

-4 2 3 1 -5 -4 2 3 1 -5 2 -1 1 -2 1

(-1)^1+3+1+3 2 1 -1 -1 0 + (-1)^{1+4+1+ 3} -1 3 -3 -3 1 + (-1)^3+4+1+3 -1 3 3 1 -5 = -1069

4 2 5 4 2 5 4 2 5

Определитель треугольной матрицы

I a₁₁ a₁₂ … a_1n a₁₁ 0 … 0 d=a₁₁*a₂₂*…*a_nn

d=

0 a₂₂ … a_2n a₁₁ a₁₂ … a_1n 0 инверсий

_{. ......................... ..........................}

0 0 … a_nn a_n1 a_n2 … a_nn

I I 0 0…….a_1n Единичный ненулевой член a_n1*a_n2* … *a_n1

d=

0 0…a₂₂ a_2n 1 2 3 ... n-1 n число инверсий: (n-1)+(n-2)+…+2+1=S

_{.........................} n n-1 n-2… 2 1 S_n-1=(a₁+a_n-1(n-1))/2=n(n-1)/2

a_n1 a_n2 … a_nn d=(-1)^n(n-1)/2*a_1n*a_2n-1*…*a_n1.