11. Правило Крамера.

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1nх_n=b₁ а₁₁ а_{12 …} а_1n

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а_2nх_n=b₂ а₂₁ а_{22 …} а_2n

…………………………. ……………

а_n1х₁+ а_n2х₂+...+ а_nnх_n=b_n а_n1 а_{n2 …} а_nn

Теорема.

Сист. урав. при d≠0 имеет единственное решение и его можно найти по формулам:

x_j=d_j/d; j=1,…,n

а_{11 …} b_{1 …} а_1n

а_{21 …} b_{2 …} а_2n

………………

а_{11 …} b_{1 …} а_1n

_n

Σ x_j

^j=1

_n

Σ a_ij

^j=1

j

Док-во:

О

_n

Σ a_nj

^j=1

_{m n}

Σ Σ a_ij

^{i=1 j=1}

_{n m}

Σ Σ a_ij

^{j=1 i=1}

бознач. х₁+ х₂+...+ х_n= a_i1+a_i2+…+a_in=

_n

Σ a_1j

^j=1

_n

Σ a_2j

^j=1

+ + … + = =

О

_{n n}

Σ da_ij = d Σ a_ij

^{i=1 i=1}

бщий множитель, не зависящий от знака суммирования, можно выносить за знак Σ:

1) Предположим, что сист. совместна и α₁, α₂,...,α_n – одно из её решений.

а₁₁α₁+ а₁₂α₂+...+ а_1nα_n=b₁ *A_1j A_ij – алгеброическое дополнение элемента a_ij

а₂₁α₁+ а₂₂α₂+...+ а_2nα_n=b₂ *A_2j

…………………………. +

а_n1α₁+ а_n2α₂+...+ а_nnα_n=b_n *A_­nj

A _{1j ­}(а₁₁α₁+ а₁₂α₂+...+ а_1nα_n)= b₁A_1j

A_2j (а₂₁α₁+ а₂₂α₂+...+ а_2nα_n)= b₂A_2j

_{…………………………………………………} +

A_­nj (а_n1α₁+ а_n2α₂+...+ а_nnα_n) = b_n A_­nj

α

_n

Σ A_­nj a_ij

^j=1

₁( A_1ja₁₁+ A_1jа₂₁+...+ A_njа_n1)+ α₂(A_1ja₁₂+ A_1jа₂₂+...+ A_njа_n2)+…+ α_n(A_1ja_1n+ A_1jа_2n+...+ A_njа_nn)= =A_1jb₁+ A_1jb₂+...+ A_njb_nj

d, если k=i,

= A_­n1 a_i1 + A_­n2 a_i2 +…+ A_­nn a_in = 0, если k≠i. Слева только одно нулевое слагаемое.

α_jd=d_j

Любое j=1,…,n => α_j=d_j/d

а_{11 …} b_{1 …} а_1n

d_j = A_1jb₁+ A_1jb₂+...+ A_njb_nj

d_j =

а_{21 …} b_{2 …} а_2n

………………

а_{11 …} b_{1 …} а_1n

j

2) Докажем, что сист. совместима, т.е. числа α_j=d_j/d (j=1,..,n) обращают каждое урав. сист. в тождество.

В

_{n n n n n n n}

Σ A_­nj a_ij = Σ d_j/d a_ij = 1/d Σ d_j a_ij = 1/d Σ a_ij Σ b_kA_kj = 1/d ΣΣ a_ijb_kA_kj =

^{j=1 j=1 j=1 j=1 k=1 j=1k=1}

ыберем любое i-е урав. (i=1,..,n) и подставим α₁=d₁/d;...; α_j=d_j/d;...; α_n=d_n/d.

а

_{n n n n}

= 1/d ΣΣ a_ijb_kA_kj = 1/d Σ b_k Σa_ijA_kj =1/d b_id = b_i =

^{k=1j=1 k=1 j=1}

_i1α₁+ а_i2α₂+...+ а_inα_n=

d, k=i

0, k≠i