22. Линейное отображение. Ранг, множество значений, ядро отображения.

L ₁, L₂ – лин. пр-ва, тогда Отображением φ: L₁ L₂, назыв. зак. по кот. каждому в-ру из L₁, сопост. ед. в-р из L₂

Отобр. φ, наз. линейными, если для любых в-в х, y є L₁, любое α є p (α є ʗ):

1. φ(х+y)= φ(x)+ φ(y) + слева – опер. слож. bL₁

2. φ(αx)=α φ(x) + справа – опер. слож. bL₂

Л ин. отобр. назыв. лин. преобразованием, если L₁=L₂; φ: L L

Пример1:

П усть, λ є R – фиксиров. число φ: х λх –лин. преобразование х є L, λx є L. φ: : L L

Проверим линейность:

1. φ(x+y)=φ(x)+φ(y)

2. φ(αx)=α φ(x)

φ(x+y)=λ (x+y)=λx+λy= φ(x)+ φ(y)

φ(αx)=λ(α x)=αλx=αφ(x) => φ – линейно

Св-ва лин. отобр.:

1. Нулевой в-р отобр. в нулевой φ (0)=φ(0*x)=0*φ(x)=0/

2. Лин. зав. в-р отображается в лин. зав. в-р.

Пусть x₁,…,x_k ЛЗ, тогда λ₁х₁+...+ λ_kx_k=0; φ(x₁), … , φ(x_k); φ(λ₁x₁+…+ λ_kx_k)= λ₁φ(x₁)+…+ λ_kφ(x_k)=0 => φ(x₁),…,φ(x_k) ЛЗ.

Множеством значений отображений φ, назыв. множество образов. в-в из L₁­.

Размерность множества знач.линейного отобр. φ, назыв. рангом отображения.

rang φ = dim Im φ

Ядром от обр. φ, назыв. мн-во в-в из L_1­ отобр. в 0.

φ : L₁ L₂ ; ker φ={x є L, | φ (x)=0}

Ядро отобр. φ, явл. подпр-м L₁. ker φ c L₁

23. Матрица линейного отображения. Теорема о ранге матрицы линейного отображения.

Т.о., если известны φ(е₁),..., φ(е_n), то мо можем найти к-ты в-ра φ(х)

М атрица лин. отобр. φ в паре базисов е и f назыв. матрица Ф (m x n), столбцы кот. есть корд. столбцов в-в φ(е₁),..., φ(е_n) в базисе f₁,…,f_m.

Матрицей лин. преобр. φ в базисе е=(е₁,...,е_n), назыв. матрица квадратная Ф (n x n), столбцы кот. есть корд. столбцы в-в. φ(е₁)... φ(е_n) в том же самом базисе е₁,...,е_n.

24. Изменение матрицы линейного отображения при замене базиса

25. Сумма и произведение отображений. Теорема о матрице произведения отображений

26. Линейное преобразование. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

27. Собственное подпространство. Собственный вектор. Теорема о диагональном элементе базисного столбца.

28. Теорема о собственных векторах, принадлежащих различным собственным значениям.

29. Д иагонализируемость преобразования.