14. Теорема Кронекера-Капелли.

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1nх_n=b₁

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а_2nх_n=b₂

………………………….

а_s1х₁+ а_s2х₂+...+ а_snх_n=b_s

a₁₁ ... a_{1n _ _} a₁₁ ... a_1n b­₁

A= ………… , A= : : :

a_s1 … a_sn a_s1 ... a_sn b­_s

^{основ. матрица сист. расширенная} __

Сист. совместна <=> rang осн. матрицы равен рангу расширенной(rang А = rang А)

Док-во:

1. Необх. =>

Пусть сист. совмечтна и числа k₁, … , k_n– одно из её реш., подставим эти числа в систему вместо неизвест., мы получим S тождеств, показыв., что послед. столбец матрицы А линейно выражен через столбцы матрицы А.

2. Дост. <= __

Пусть rang A = rang A, тогда макс. лнз подсистема матрицы А и макс. лнз посистема матрицы А сод. равное число в-в и в кач. макс лнз подсист. А мы можем выбрать макс лнз подсист. из А. __

Через выбранную подсист. линейного выражения любой столбец матрицы А в том числе и последний столбец

а₁₁ a_1n b₁ что и означает, что числа k₁, … , k_n, явл. реш. сист., т.е. сист.

: k₁+…+ : k_n = : совместна.

а_s1 a_sn b_s

15. Свойства решений системы линейных однородных уравнений. Теоремы о связи между решениями однородных и неоднородных систем.

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1nх_n=0 Однородная сист. всегда совместна. 0=х₁=х₂=...=х_n – тривиальная. Если r=n, то тревиальное

…………………………. решение будет ед. Если r<n, то сист. имеет параметрыбесконечное множество среди которых

а_s1х₁+ а_s2х₂+...+ а_snх_n=0 есть нулевые.

С в-ва реш. лин. однород. сист.:

__ b₁ __ kb₁

1. Если в-р β= : , им реш. сист., то для любого числа k β = : также явл. решением.

__ __ b_n kb_n

2. Если β и γ – 2-а реш. сист., то их сумма также явл. решением.

1), 2) =>Любая линейная комбинация решение одной системы, также является решением.

Теоремы о связи между решениями однородных и неоднородных систем.

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1nх_n=b₁ а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1nх_n=0

…………………………. – неоднород сист. …………………………. – привед. сист. соотв.

а_s1х₁+ а_s2х₂+...+ а_snх_n=b_s а_s1х₁+ а_s2х₂+...+ а_snх_n=0

Теорема1.

С умма любого решения неоднородной системы с любым решением приведенной системы будет решением неоднородной системы.

Т еорема2.

Р азность любых 2-х решений неоднородной сист., явл. реш. привед. сист.